Supongamos que $p$ es un número primo y $q\mid p−1$

Question

Suponga que $p$ es un número primo y $q\mid p1$. Demuestre que la congruencia $$1 +x+···+x^{q1} \equiv 0 \pmod p$$ tiene exactamente $q1$ soluciones.

Ahora sé cómo demostrar que hay a lo sumo $q-1$ soluciones, pero no sé cómo demostrar que no puede haber menos de $q-1$ soluciones.

Answer 1

Las soluciones de la congruencia son precisamente las soluciones de $x^q - 1 \equiv 0 \pmod{p}$ tal que $x\not\equiv 1\pmod{p}$. Dado que $\mathbb{F}_p$ es un campo, esta congruencia tiene a lo sumo $q-1$ soluciones.

Sea $\alpha \in \mathbb{F}_{p}^{\ast}$ una raíz primitiva, entonces $\alpha^{(p-1)/q}$ tiene orden $q$, por lo que cada $\alpha^{k(p-1)/q}$ para $1\le k \le q-1$ es una solución a la congruencia. Por lo tanto, la congruencia tiene al menos $q-1$ soluciones.