Supongamos que $p$ es un número primo impar que no divide a $ab$. Demuestra que $z^2 \equiv ab \pmod p$ tiene solución si y solo si ambas o ninguna de las ecuaciones $x^2\equiv a\pmod{p}$ y $x^2 \equiv b \pmod p$ tienen solución.
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Gudmundur Orn
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En otros contextos, uno podría plantear esta pregunta como intentar probar que el producto de dos residuos cuadráticos no cuadráticos es un residuo cuadrático. La forma "estándar" típicamente presentada en textos de teoría elemental de números (y sugerida por el usuario en los comentarios) es mostrar primero que los elementos no nulos módulo $p$ tienen un generador (una raíz primitiva) $g$. En este caso, los cuadrados son precisamente aquellos representados por potencias pares de $g$. Dado que el producto de dos potencias impares de $g$ es una potencia par de $g$, eso demostraría tu afirmación.
Pero podemos ir desde principios fundamentales y usar solo álgebra básica. Denota los elementos no nulos módulo $p$ por $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$, y denota los cuadrados por $S$. Entonces la idea clave es que $S$ es un subgrupo de $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times.
Podemos verificar esto directamente. Si $x \equiv a^2$ e $y \equiv b^2$, entonces $xy \equiv (ab)^2$. De manera similar, $x^{-1} \equiv (a^{-1})^2$, y así $S$ es un subgrupo.
Nos hacemos la pregunta fundamental: ¿qué tan grande es $S$? Dado que $1^2 = (-1)^2 = 1$, no podemos abarcar todos los elementos. Considera el homomorfismo de grupo $\sigma: (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times \longrightarrow (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ dado por $\sigma:x \mapsto x^2$. Es decir, considera el mapa de cuadrados. Más específicamente, considera el núcleo de $\sigma.
Queremos saber cuándo $\sigma (x) = 1$, o más bien $x^2 \equiv 1 \pmod p$. Esto es equivalente a $p \mid x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$, o más bien $x \equiv \pm 1 \pmod p$. (Hemos usado que $p$ es primo). Así que el tamaño del núcleo es $2$.
Dado que está muy claro que $\sigma$ sobreyecta sobre $S$, vemos que $S$ es un subgrupo de índice $2$ de $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$. Un subgrupo de índice $2$ siempre es normal, y así podemos dar sentido al grupo cociente $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times / S.
Este grupo cociente tiene $2$ elementos. Solo hay un grupo de $2$ elementos, y es isomorfo a $\{1, -1\}$ bajo multiplicación. Ser $1$ en este grupo cociente corresponde a un elemento de $S. Ser $-1$ corresponde a ser un cuadrado no cuadrático.
Ahora está claro que el producto de dos cuadrados no cuadráticos, en el grupo cociente, actúa como $-1 \cdot -1 = 1$, y por lo tanto es un cuadrado.
Más generalmente, el producto de dos cuadrados es un cuadrado, el producto de dos no cuadrados es un cuadrado, y el producto de un cuadrado y un no cuadrado es un no cuadrado. Se comporta (literalmente) como $-1$ y $1$ bajo multiplicación. $\diamondsuit$
