Cálculos referentes a la función Gudermanniana

Question

Hice cálculos para obtener algunas expresiones simples que involucran la función gudermaniana $$\text{gd}(x)=\int_0^x\frac{dt}{\cosh t}.$$

No estoy seguro si estas afirmaciones son correctas, pero sé cómo hacer los cálculos, por lo tanto mi error debería ser un pequeño detalle.

Pregunta 1. Uno tiene $$\lim_{x\to\infty}e^{-x}\int_0^xe^t\text{gd}(t)dt=\frac{\pi}{2},$$ y definiendo $$F(x)=\int_0^xe^t\text{gd}(t)dt,$$ entonces $$F''(x)-F'(x)=e^x(\text{gd}(x))'.$$ ¿Son correctas estas afirmaciones? Sólo se requiere un sí, o ¿dónde fue mi error?

Y para lo siguiente, sé que hay una relación satisfecha por la función gudermaniana y la función tangente inversa (ver enlace anterior a Wikipedia), entonces cuando estaba explorando el cálculo de la siguiente integral con Wolfram Alpha $$\int_0^1\left(\frac{\pi}{2}+\text{gd}(x)\right)dx$$ me pregunté a mí mismo

Pregunta 2. ¿Puedes proporcionarnos pistas para calcular $$\int_0^1 \arctan(e^x)dx?$$

Aquí está el código para el calculador en línea anterior

int arctan(e^x) dx, from x=0 to x=1

int arctan(e^x) dx

Muchas gracias.

Answer 1

Aquí hay una solución a la pregunta 2. Para evaluar

\begin{equation} I = \int\limits_{0}^{1} \tan^{-1}(\mathrm{e}^{x}) \mathrm{d}x \end{equation} comenzamos expresando la tangente inversa como logaritmos: \begin{equation} \tan^{-1}(z) = \frac{i}{2} [\ln(1-iz) - \ln(1+iz)] \end{equation> así nuestra integral se convierte en \begin{align} I &= \frac{i}{2} \int\limits_{0}^{1} \left(\ln(1-i\mathrm{e}^{x}) - \ln(1+i\mathrm{e}^{x}) \right) \mathrm{d}x \\ &= \frac{i}{2} (I_{1} + I_{2}) \end{align>

Para evaluar $I_{1}$ hacemos la sustitución $z = i\mathrm{e}^{x}$ \begin{align} I_{1} &= \int\limits_{0}^{1} \ln(1-ie^{x}) \mathrm{d}x \\ &= \int\limits_{i}^{i\mathrm{e}} \frac{\ln(1-z)}{z} \mathrm{d}z \\ &= \int\limits_{0}^{i\mathrm{e}} \frac{\ln(1-z)}{z} \mathrm{d}z - \int\limits_{0}^{i} \frac{\ln(1-z)}{z} \mathrm{d}z\\ &= \mathrm{Li}_{2}(i) - \mathrm{Li}_{2}(i\mathrm{e}) \\ &= i\mathrm{G} - \frac{\pi^{2}}{48} - \mathrm{Li}_{2}(i\mathrm{e}) \end{align>

Para evaluar $I_{2}$ hacemos la sustitución $-z = i\mathrm{e}^{x}$ \begin{align} I_{2} &= \int\limits_{0}^{1} \ln(1+ie^{x}) \mathrm{d}x \\ &= \int\limits_{-i}^{-i\mathrm{e}} \frac{\ln(1-z)}{z} \mathrm{d}z \\ &= \int\limits_{0}^{-i\mathrm{e}} \frac{\ln(1-z)}{z} \mathrm{d}z - \int\limits_{0}^{-i} \frac{\ln(1-z)}{z} \mathrm{d}z\\ &= \mathrm{Li}_{2}(-i\mathrm{e}) - \mathrm{Li}_{2}(-i) \\ &= \mathrm{Li}_{2}(-i\mathrm{e}) - \left(-i\mathrm{G} - \frac{\pi^{2}}{48} \right)

Juntando las piezas, obtenemos nuestro resultado final \begin{align> I &= \frac{i}{2} (I_{1} + I_{2}) \\ &= \frac{i}{2} [\mathrm{Li}_{2}(-i\mathrm{e}) - \mathrm{Li}_{2}(i\mathrm{e})] - \mathrm{G} \\ &= \int\limits_{0}^{1} \tan^{-1}(\mathrm{e}^{x}) \mathrm{d}x

Notas:

1. $\mathrm{G}$ es la constante de Catalan
2. $\mathrm{Li}_{2}(z)$ es el dilogaritmo.
3. Las expresiones para $\mathrm{Li}_{2}(\pm i)$ se pueden encontrar aquí.