Cómo evaluar $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1\cdot3\cdot5\cdot\ldots\cdot(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdot\ldots\cdot2n}}$

Question

Im tentados a decir que el límite de esta secuencia es 1 porque infinito raíz de infinito número es cercano a 1, pero tal vez Im perdieron aquí algo? Lo que va a ser dentro de la raíz?
Esta es la secuencia:

$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1\cdot3\cdot5\cdot\ldots\cdot(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdot\ldots\cdot2n}}$$

Answer 1

Tenga en cuenta que $$1\ge\frac{1\cdot3\cdot5\cdot\ldots\cdot(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdot\ldots\cdot2n}=\frac{3\cdot5\cdot\ldots\cdot(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdot\ldots\cdot(2n-2)}\cdot\frac1{2n}\ge\frac1{2n}$$ Por lo que el límite es $1$ exprimiendo como $\sqrt[n]n\to1.$

Answer 2

Tenga en cuenta que $$ \left[\frac1{2n+1}\right]^{1/n}=\left[\frac13\frac35\frac57\cdots\frac{2n-1}{2n+1}\right]^{1/n}\le\left[\frac12\frac34\frac56\cdots\frac{2n-1}{2n}\right]^{1/n}\lt1 $$ Desde $\lim\limits_{n\to\infty}(2n+1)^{1/n}=1$, el Teorema del sándwich dice que $$ \lim_{n\to\infty}\left[\frac12\frac34\frac56\cdots\frac{2n-1}{2n}\right)^{1/n}=1 $$

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Anexo

Desde $1+x\le e^x$ todos los $x\in\mathbb{R}$, podemos tener fácilmente $$ (1+\sqrt{n}/2)^2\le \left(e^{\sqrt{n}/2}\right)^2 $$ lo que implica que $$ 1+2n\le8e^{\sqrt{n}} $$ Por lo tanto $$ 1\le(1+2n)^{1/n}\le8^{1/n}e^{1/\sqrt{n}} $$ Por el Teorema del encaje, $$ \lim_{n\to\infty}(2n+1)^{1/n}=1 $$

Answer 3

Si inserta el denominador al numerador tiene $$\frac{1\times 3\times 5\cdots \times(2n-1)}{2\times 4\times 6\cdots \times(2n)}=\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}$$ Now, use Stirling approximation $$m!=m^m \sqrt{2\pi m}e^{-m}$$

Answer 4

Es muy fácil demostrar por inducción que: $$\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\geq\frac{1}{\sqrt{2n}}\tag{1}$$ desde la última línea es implícita por: $$\frac{2n+1}{2n+2}\geq\sqrt{\frac{2n}{2n+2}}$$ que es equivalente a: $$(2n+1)^2\geq 2n(2n+2) = (2n+1)^2-1.$$ El uso de $(1)$ y el trivial enlazado $\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\leq 1$, se deduce que el límite es de $1$ exprimiendo.

Answer 5

Usted puede escribir $$ \begin{align} \frac{1\cdot 3\cdot 5 \cdots(2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots2n} &=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4 \cdot 5\cdot6\cdots(2n-1)\cdot 2n}{(2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n))^2}\\ &=\frac{(2n)!}{(2^{n} \cdot 1\cdot 2\cdot 3 \cdot 4 \cdots n)^2}\\ & =\frac{(2n)!}{2^{2n} (n!)^2 }\\ & =\frac{1}{\sqrt{\pi n}}+\mathcal{O}\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right), \quad \text{for} \, n \, \text{great} \end{align} $$ donde tenemos el uso de Stirling aproximación, entonces usted puede fácilmente concluir, desde $$ \sqrt[n]{\frac{1\cdot 3\cdot 5 \cdots(2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots2n}}=e^{\Large \frac{1}{n}\log{\frac{1\cdot 3\cdot 5 \cdots(2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots2n}}} $$ dando el valor de $1$ de su límite.