¿Si alguna potencia $A^n$ de una matriz $A$ es simétrica, es $A$ necesariamente simétrica?

Question

Si $ A ^ {n} $ es una matriz simétrica, ¿debería concluir que A también es simétrica?

Answer 1

No. Consider the $2 \times 2$ Jordan block $$\pmatrix{0 & 1 \\ 0 & 0},$$ o la matriz $$\pmatrix{0 & -1 \\ 1 & 0},$$ que representa una rotación en sentido antihorario por $\frac{\pi}{2}$.

Answer 2

No puedes tomar la matriz nilpotente $$ M=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0& 0\\ 0&0 & 1& 0\\ 0& 0&0&1\\ 0& 0& 0& 0 \end{array} \right) $$ M no es simétrica pero $A^4=0_4$ simétrica