$\int_{3}^{ab+2}f\left(x\right)dx=\int_{3}^{a+2}f\left(x\right)dx+\int_{3}^{b+2}f\left(x\right)dx$ where $a,b\in \left(1,\infty \right)$ find $f(x)$

Question

$f(x)$ es una función diferenciable definida para x>2 que satisface $$\int_{3}^{ab+2}f\left(x\right)dx=\int_{3}^{a+2}f\left(x\right)dx+\int_{3}^{b+2}f\left(x\right)dx$$ donde $a,b\in \left(1,\infty \right)$ y encuentra $f(x)$

Encontré esta pregunta en un examen de matemáticas australiano y en realidad era una pregunta de opción múltiple donde el método previsto era de prueba y error.

Me preguntaba si había algún enfoque más intuitivo para la pregunta.

Se puede acceder a la pregunta aquí con las opciones de respuesta

Answer 1

f(x) es una función diferenciable definida para x>2 que satisface $$\int_{3}^{ab+2}f\left(x\right)dx=\int_{3}^{a+2}f\left(x\right)dx+\int_{3}^{b+2}f\left(x\right)dx$$ donde $a,b\in \left(1,\infty \right)$ encontrar $f(x)$

Tomar la derivada con respecto a $a$

$$bf(ab+2)=f(a+2)$$

Dejar $a=1$

$$f(b+2)=\frac{f(3)}{b}$$

Dejar $x=b+2$

$$f(x)=\frac{f(3)}{x-2}$$

donde $f(3)$ es una constante $c=f(3)$, entonces tenemos

$$f(x)=\frac{c}{x-2}$$