¿Puedo obtener ayuda con esta integral? $\int_{0}^{2\pi}\dfrac{x\sin^{100}(x)}{\cos^{100}(x)+\sin^{100}(x)}dx$

Question

(Todavía estoy tratando de entender este concepto) Intenté separar la integral, como $cos(x)\geq sin(x)$ en $[0,\frac{\pi}{4}]$ y $[\frac{5\pi}{4},2\pi]$, por lo tanto $\sin^{100}(x)$ va a $0$ más rápido que $\cos^{100}(x)$. De esta manera, $\dfrac{sin^{100}(x)}{\cos^{100}(x)+\sin^{100}(x)} \to{0}$ por lo que la integral será $0$. Por otro lado, en $[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}]$ esto $\dfrac{sin^{100}(x)}{\cos^{100}(x)+\sin^{100}(x)}\to{1}$ entonces la integral será $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}x dx$. De esta forma, obtendré $\frac{25\pi^{2}}{32} - \frac{\pi^{2}}{32} = \frac{24\pi^{2}}{32} = \frac{3\pi^{2}}{4}$ que no es la respuesta...

Answer 1

Sea $$I=\int_{0}^{2\pi}\dfrac{x\sin^{100}(x)}{\cos^{100}(x)+\sin^{100}(x)}dx$$ Ahora, haga la sustitución $x=2\pi-u$ para obtener $$\begin{align}I&=-\int_{2\pi}^{0}\dfrac{(2\pi-u)\sin^{100}(2\pi-u)}{\cos^{100}(2\pi-u)+\sin^{100}(2\pi-u)}du\\&=\int_{0}^{2\pi}\dfrac{(2\pi-u)\sin^{100}(u)}{\cos^{100}(u)+\sin^{100}(u)}du\\&=-I+\int_{0}^{2\pi}\dfrac{2\pi\sin^{100}(u)}{\cos^{100}(u)+\sin^{100}(u)}du\\\implies I&=\int_{0}^{2\pi}\dfrac{\pi\sin^{100}(u)}{\cos^{100}(u)+\sin^{100}(u)}du\\&=\int_{0}^{\pi}\dfrac{2\pi\sin^{100}(u)}{\cos^{100}(u)+\sin^{100}(u)}du\\&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{4\pi\sin^{100}(u)}{\cos^{100}(u)+\sin^{100}(u)}du\end{align}$$ Donde hicimos uso de la periodicidad. Ahora, use el hecho de que $\sin(\frac{\pi}{2}-x)=\cos(x)$ y $\cos(\frac{\pi}{2}-x)=\sin(x)$ y use la sustitución $u=\frac{\pi}{2}-t$ para obtener $$I=-\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\dfrac{4\pi\sin^{100}(\frac{\pi}{2}-t)}{\cos^{100}(\frac{\pi}{2}-t)+\sin^{100}(\frac{\pi}{2}-t)}dt=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{4\pi\cos^{100}(t)}{\cos^{100}(t)+\sin^{100}(t)}dt$$ Ahora, sume estos dos $I$ juntos: $$I+I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{4\pi\cos^{100}(t)+4\pi\sin^{100}(t)}{\cos^{100}(t)+\sin^{100}(t)}dt=4\pi\cdot\frac{\pi}{2}=2\pi^2\implies \boxed{I=\pi^2}$$

Answer 2

Dejemos que la integral sea $I$. Usando $f(x)=f(2\pi-x)$ y recordando que $\sin(2\pi-x)=-\cos(x)$ vemos que el coseno se cancela del numerador y denominador. Así que $I=\int _0 ^{2\pi} (\pi-\frac {x}{2}) =\pi ^2$

Answer 3

Aquí hay algunas pistas sobre cómo obtener exactamente la respuesta $\pi^2$

1. Haz la sustitución $u=2\pi-x$. Esto tiene el efecto de eliminar el término $x$ adicional del integrando. Obtienes $2I=2\pi\int_0^{2\pi}...

2. Considera la simetría y haz $4\times \int_0^{\frac{\pi}{2}}...

3. Finalmente, haz otra sustitución $x=\frac{\pi}{2}-\theta$ y considera $$I+I=4\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}1d\theta$$

Espero que esto te ayude y te gustaría intentarlo por ti mismo