Evaluando un límite aparentemente simple, usando la continuidad de la derivada parcial

Question

Estoy atascado con un problema aparentemente fácil. Tengo una función $f(x,y)$ que tiene derivadas primeras continuas. Ahora, quiero mostrar que: $$\lim_{h \to 0}\dfrac{f(a+hu,b+hv)-f(a,b+hv)}{hu} =f_x(a,b)$$

Esto es lo que he pensado: Dado que las derivadas son continuas, sabemos que, para cada $\epsilon > 0$, existe un $\delta > 0$ tal que se cumple:

$$0 < ((x-a)^2 + (y-b)^2)^{1/2} < \delta \implies |f_x(x,y) - f_x(a,b) | = \left|\lim_{h \to 0}\dfrac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h} - \lim_{h \to 0}\dfrac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h} \right| < \epsilon$$

Mi plan era relacionar la primera expresión con esta definición de la continuidad de la derivada parcial. Pero el $hv$ que se añade a $b$ arruina esta idea. Creo que me estoy perdiendo algo muy obvio aquí, pero molesto como soy, no logro entender qué. ¿Cómo debo proceder?

Answer 1

Necesitas tener un poco de cuidado con el valor de $u$. Necesitas $u \neq 0$ para que el cociente esté definido. Evitaré esto multiplicando por la cantidad fija $u$.

Utilizando el teorema del valor medio tenemos que $f(a+hu, b+hv) -f(a, b+hv) = f_x'(a+t_h hu, b+hv)hu$ para algún $t_h \in (0,1)$.

Sea $\epsilon >0$, y elige $\delta>0$ de manera que $|f_x'(c,d)-f_x'(a,b) | < \epsilon$ para todos $\|(c,d)-(a,b)\| < \delta$.

Ahora supongamos que $|h| \|(u,v)\| < \delta$ y deja que $t_h$ sea el valor anterior, entonces $$\begin{eqnarray} |{f(a+hu, b+hv) -f(a, b+hv) \over h} - f_x'(a,b) u| &=& |f_x'(a+t_h hu, b+hv)u - f_x'(a,b) u| \\ &=& |f_x'(a+t_h hu, b+hv) - f_x'(a,b)| | u| \\ &\le& \epsilon |u| \end{eqnarray}$$ Se sigue que $\lim_{h \to 0} {f(a+hu, b+hv) -f(a, b+hv) \over h} = f_x'(a,b) u$.

Answer 2

Observa que por el TVM: $f(a+hu,b+hv) - f(a+hu,b) = hv\cdot \dfrac{\partial f}{\partial y}(a+hu,c)$, y $f(a,b+hv) - f(a,b) = hv\cdot \dfrac{\partial f}{\partial y}(a,d)$. Así que podemos escribir: $\dfrac{f(a+hu,b+hv) - f(a,b+hv)}{hu} = \dfrac{f(a+hu,b) + hv\cdot \dfrac{\partial f}{\partial y}(a+hu,c) - f(a,b) - hv\cdot \dfrac{\partial f}{\partial y}(a,d)}{hu} = \dfrac{f(a+hu,b) - f(a,b)}{hu} + \dfrac{v}{u}\cdot \left(\dfrac{\partial f}{\partial y}(a+hu,c) - \dfrac{\partial f}{\partial y}(a,d)\right) \to f_x(a,b) + 0 = f_x(a,b)$ ya que cuando $u \neq 0, hu \to 0 \to h \to 0 \to c,d \to b$