Dada una familia (planas) de variedades algebraicas complejas $X_t$ (digamos parametrizadas por $\mathbb{C}$) y un $t_0$ específico, ¿cómo se procede para verificar si $X_{t_0}$ es un 'elemento genérico'?
Más precisamente, tengo lo siguiente:
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morfismo plano $\mathcal{X} \to C$ (donde $C$ es la recta afín) tal que cada fibra es una superficie proyectiva normal (racional), y
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un divisor $D$ en $\mathcal{X}$ tal que $D_t := D|_{X_t}$ es una familia plana de curvas (reducidas, posiblemente singulares) irreducibles.
Tengo información sobre $X_{t_0}$ y $D_{t_0}$ para un $t_0$ específico, y supongo (o más bien, espero) que lo siguiente se cumple en mi caso:
(A) para valores genéricos de $t$, las superficies $X_t$ (y las curvas $D_t$) son homeomórficas,
(B) $X_{t_0}$ (o $D_{t_0}$) es homeomórfico a $X_t$ genérico (o $D_t$).
¿Cómo debo proceder para verificar si mis suposiciones son correctas? En particular, ¿cuáles son los criterios generales que garantizan (A) y/o (B)? (Por ejemplo, ¿ayuda algún conocimiento sobre las cohomologías del haz de secciones de $D_t$?)
Se agradecería cualquier referencia.
Edit 1: para ser explícitamente claro con respecto a (B): sé que (B) no se cumple en general, es decir, para valores específicos de $t$, $X_t$ y $D_t$ pueden no ser genéricos. Pero espero tener algunos criterios que garanticen que son genéricos, como por ejemplo: si tales y tales grupos de cohomología se anulan, entonces serán genéricos.
Edit 2: Una pregunta adicional (relacionada) en vista del comentario de Qfwfq:
(C) Digamos que sabes que $X_t$ y $X_{t_0}$ son homeo-/difeomórficos. ¿Entonces bajo qué condiciones en $D$ es $D_t$ homeo-/difeomórfico a $D_{t_0}$? Ten en cuenta que sé que todas las $D_t$ son singulares (curvas) - por lo que el teorema de Ehresmann no se aplica directamente. (Estoy pensando en jugar con los flujos en la demostración del teorema de Ehresmann - ¿pero debe haber algunos resultados generales, no?)
