Los módulos isomorfos de secciones implican paquetes isomorfos

Question

Para referencia, esto trata sobre una parte de la pregunta 3-F en Characteristic Classes de Milnor y Stasheff, que discute la estructura de módulo $C(B)$ del espacio de secciones de un fibrado vectorial topológico $\xi$ sobre algún espacio base $B$, que se asume Tychonoff. Si escribimos $S(\xi)$ para ser las secciones del fibrado vectorial $\xi$, entonces la pregunta le pide al lector, entre otras cosas, demostrar que $\xi\cong\eta$ como fibrados vectoriales si y solo si $S(\xi)\cong S(\eta)$ como módulos $C(B)$.

La primera dirección no es complicada. Para la otra, asumimos que hay un isomorfismo $$\phi:S(\xi)\rightarrow S(\eta)$$ Mi progreso es el siguiente: Escribiendo $E(\xi)$ para el espacio total del fibrado vectorial $\xi$, y de manera similar para $\eta, hasta ahora he definido un mapa $$\psi:E(\xi)\rightarrow E(\eta)$$ enviando $(p,v)\in E(\xi)$ a $(\phi(s))(p)$ donde $s\in S(\xi)$ es alguna sección vieja tal que $s(p)=(p,v)$. Para que esta construcción funcione, hay que probar que efectivamente hay una sección $s$ tal que $s(p)=(p,v)$, y lo hice usando trivialidad local y el hecho de que B es Tychonoff. Además, hay que verificar que esto está bien definido, lo que requiere mostrar que si tenemos dos secciones $s_1$ y $s_2$ tales que $s_1(p)=s_2(p)=(p,v)$, entonces $(\phi(s_1))(p)=(\phi(s_2))(p)$. Esto también requiere usar la Tychonoff-ness de B y el hecho de que $\phi$ es inyectivo.

Lo que me está costando es demostrar que este mapa (que es el único que se me ocurre) es continuo. Parece que es necesario hacer un salto desde la continuidad de secciones individuales hasta la continuidad del mapa como un todo. Si alguien puede ayudar, sería apreciado.

Answer 1

Aquí está cómo mostrar la continuidad de $\psi:E(\xi)\rightarrow E(\eta)$ una vez que hayas demostrado que es una aplicación bien definida, lineal en las fibras:

Llama $p$ a la proyección $p:E(\xi)\to B.
Fija un punto arbitrario $e\in E(\xi)$ y llama $b=p(e)\in B$ a su proyección.
Elige un vecindario $U$ de $b$ tan pequeño que existan secciones globales $s_1,...,s_r\in S(\xi)$ tales que los $s_1(b'),...,s_r(b')$ formen una base de la fibra $E_{b'}=p^{-1}(b')$ sobre cada $b'\in U.
[Esto usa la trivialidad local de $\xi$, y la Tychonoffness para asegurar que las $s_i$ puedan ser modificadas a secciones globales]
Entonces, cualquier punto $e'\in p^{-1}(U)$ con proyección $b'=p(e')$ puede ser escrito de manera única como $$e'=\sum_{i=1}^r f_i(b')s_i(b')$$ y los $f_i$ son funciones continuas $f_i\in C(U)$ [No se supone que sean extensibles a $B)]

Ahora, aplicando tu receta a la sección $s=\sum_{i=1}^r f_i(b')s_i\in S(\xi)$ que satisface $s(b')=e'$, obtenemos $$\psi (e')=\psi(s(b'))=[\phi(s)](b')=[\sum_{i=1}^r f_i(b')\phi(s_i)](b')=\sum_{i=1}^r f_i(b')[\phi(s_i)](b')$$ lo que muestra que $\psi$ es continua en $p^{-1}(U).
Conclusión
La aplicación $\psi:E(\xi)\rightarrow E(\eta)$ es continua ya que es continua en cada $e\in E(\xi).

Editar
La receta mencionada anteriormente es la bonita fórmula $\psi(s(b))=[\phi(s)](b)$, válida para todo $s\in S(\xi)$ y todo $b\in B.