¿Qué secuencia de cursos debo estudiar para establecer una base para estudiar criptografía y procesamiento de señales?

Question

Estudié matemáticas hace aproximadamente dos décadas, pero desafortunadamente, recuerdo muy poco de ello. Espero comenzar a estudiar criptografía y procesamiento de señales, pero no estoy completamente seguro de qué curso/ secuencia de autoestudio seguir. Mis ideas iniciales son algo así:

1. Teoría de números
2. Álgebra lineal y cálculo multivariable
3. Álgebra abstracta y probablemente algo de teoría de codificación
4. Análisis, tanto real como complejo
5. ...

Dado lo poco que recuerdo, no estoy seguro de cuánta superposición podría estar perdiéndome. Por ejemplo, sé que la teoría de codificación utiliza bastante teoría de grupos, pero no conozco completamente la extensión de la superposición.

Answer 1

Para la criptografía, necesitas algunos cursos de matemáticas en teoría de números y álgebra abstracta, pero parece que ya sabes acerca de esos.

Contamos con tres cifrados cartográficos principales en forma de cifrados simétricos (basados en algoritmos como el Estándar de Cifrado Avanzado - AES), cifrados asimétricos y cifrados de flujo.

Los cifrados asimétricos están basados en funciones matemáticas de 'trampa' que utilizan el problema de factorización de enteros (como RSA), el problema del logaritmo discreto (como Diffie-Hellman) o el problema del logaritmo discreto de la curva elíptica (criptografía de curva elíptica).

Libros de criptografía

• Un curso de teoría de números y criptografía, Neal Koblitz

• Aspectos algebraicos de la criptografía, Neal Koblitz

• Curvas elípticas: Teoría de números y criptografía, segunda edición (Matemáticas discretas y sus aplicaciones), Lawrence C. Washington

• Las matemáticas de los cifrados: teoría de números y criptografía RSA, Coutinho S. C., Severino Collier Coutinho

• Introducción a la criptografía, Richard A. Mollin

• Introducción a la criptografía con teoría de codificación (2a edición) de Wade Trappe y Lawrence C. Washington (25 de julio de 2005)

• Manual de criptografía aplicada, Alfred Menezes, Paul van Oorschot, Scott Vanstone

• Guía de la criptografía de la curva elíptica, Darrel Hankerson, Alfred Menezes y Scott Vanstone

• Criptografía práctica, Niels Ferguson, Bruce Schneier

También ten en cuenta que también existe el campo del criptoanálisis, que se enfoca más en estadísticas y teoría de probabilidad.

Puede que quieras echar un vistazo al Curso Abierto del MIT sobre Criptografía para obtener más orientación sobre cursos y áreas en las que debes reforzar tus conocimientos.

Aquí tienes algunos apuntes y aquí tienes otro conjunto de apuntes (y también puedes encontrar otros muy buenos en línea basados en matemáticas).

Aquí tienes una lista de áreas temáticas que involucran cripto para tener una idea del alcance.

Para criptoanálisis lee estos por parte de un experto.

Con eso debería ser suficiente para ayudarte a avanzar y para ayudarte a descubrir qué cursos necesitas.

Saludos

Answer 2

También me interesé por la criptografía como pasatiempo y tomé algunos cursos introductorios y luego simplemente estudié por mi cuenta. Tienes toda la razón en cuanto al álgebra abstracta, pero quiero enfatizar que una introducción al álgebra abstracta no será suficiente. Necesitarás adentrarte un poco más en la teoría de campos, de modo que si alguien te dice que sumes dos números en $\mathbb{F}_{2048}$ sepas cómo hacerlo. Los campos finitos (especialmente de característica dos) y luego los espacios vectoriales finitos construidos sobre ellos son ubicuos en la criptografía. Y estos no se comportan como espacios vectoriales reales o complejos en absoluto. También querrás adquirir algo de conocimientos en probabilidad. Por supuesto, dependiendo de si quieres estudiar solo la teoría o las implementaciones reales y por qué AES es como es y qué es la criptoanálisis diferencial, entonces un poco de conocimientos en informática también será útil.

Para el procesamiento de señales, ¿estás hablando solo de análisis de Fourier o de cualquier cosa "moderna" que esté disponible (como las wavelets)? Para eso, el análisis real y complejo será útil. Una introducción a las EDP también será útil para aprender sobre series de Fourier y transformadas de Fourier. Y luego, lo más útil será una secuencia de análisis numérico realmente buena. Comienza primero con los conceptos básicos de la transformada de Fourier, luego la transformada de Fourier discreta y luego comprender qué es la transformada rápida de Fourier. Y luego cualquier técnica adicional que desees aprender como funciones de base radial y/o wavelets.