Rango y espacio nulo de una matriz de bloques particular.

Question

Sea $D_1, D_2 \in \mathbb{R}^{N \times N}$ matrices diagonales con diagonales que son vectores linealmente independientes. Sea $A, B \in \mathbb{R}^{N \times N}$ matrices deficientes en rango. Definimos $S = \mathrm{null}(A) \cap \mathrm{null}(B)$ y suponemos que $\mathrm{dim}(S) = p$.

Estoy interesado en el rango de la matriz de bloques $\Phi = \begin{pmatrix} D_1 A & D_2 A \\ D_1 B & D_2 B \end{pmatrix} \in \mathrm{R}^{2N \times 2N}$.

Es fácil mostrar que $\mathrm{rank}(\Phi) \leq 2N - 2P$, ya que cualquier vector de bloques con bloques tomados de $S$ está en $\mathrm{null}(\Phi)

.

Pregunta: ¿esto se cumple con igualdad? Es decir, ¿es $\mathrm{null}(\Phi) = \left\{ [u, v]^T | \ u, v \in S \right\}$?

Tengo un argumento aproximado que se basa en la partición de la matriz $\begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix}$ como $\begin{pmatrix} A^\prime \\ B^\prime \\ \tilde{A} \\ \tilde{B} \\ C \end{pmatrix}$

donde las filas $\begin{pmatrix} A^\prime \\ B^\prime \end{pmatrix}$ son linealmente independientes, $\tilde{A}$ (resp. $\tilde{B}$) depende solo de las filas de $A^\prime$ (resp. $B^\prime$), y $C$ son filas que son una combinación lineal de filas de $A^\prime$ y $B^\prime$. Luego utilizo el pesado diagonal como en mi declaración de problema, y muestro que $C = 0$.

Este enfoque parece rudimentario. ¿Hay una mejor manera?

Answer 1

La respuesta a tu pregunta es un obvio "no". Debería ser fácil generar un contraejemplo aleatorio. Por ejemplo, supongamos que $$ A=B=\pmatrix{1&-1\\ 1&-1\\ &&1},\ D_1=\pmatrix{1\\ &1\\ &&0},\ D_2=\pmatrix{0\\ &1\\ &&1}. $$ Entonces $S=\operatorname{nulo}(A)$ consta de múltiplos escalares de $(1,1,0)^T$ y $p=\dim S=1$. Sin embargo, $$ \Phi=\pmatrix{1&-1&0&0&0&0\\ 1&-1&0&1&-1&0\\ 0&0&0&0&0&1\\ 1&-1&0&0&0&0\\ 1&-1&0&1&-1&0\\ 0&0&0&0&0&1} $$ tiene rango $3<2N-2p=4$ y su espacio nulo consta de vectores de la forma $(x,x,z,y,y,0)^T$, en lugar de solo vectores de la forma $(x,x,0,y,y,0)^T$.

Editar. La respuesta sigue siendo no si $D_1$ y $D_2$ son invertibles. Considera el mismo $A$ y $B$ de arriba, pero reemplaza $D_1$ por $I_3$ y $D_2$ por $\operatorname{diag}(1,1,2)$. Nuevamente, $S=\operatorname{nulo}(A)$ consta de múltiplos escalares de $(1,1,0)^T$ y $p=\dim S=1$. Sin embargo, $$ \Phi=\pmatrix{1&-1&0&1&-1&0\\ 1&-1&0&1&-1&0\\ 0&0&1&0&0&2\\ 1&-1&0&1&-1&0\\ 1&-1&0&1&-1&0\\ 0&0&1&0&0&2} $$ solo tiene rango $2<2N-2p=4$ y su espacio nulo consta de vectores de la forma $(x,y,-2w,z,x-y+z,w)^T$, en lugar de solo vectores de la forma $(x,x,0,y,y,0)^T$.