¿Cómo formular un teorema sobre bijecciones entre varios conjuntos?

Question

Tengo varios conjuntos $A_i$ y bijecciones entre ellos. (Como se indica en mi teorema) ninguna composición de estas bijecciones produce una permutación de $A_i$ que no sea igual a la identidad. Así que cada bijección está identificada por el par de conjuntos entre los que actúa.

Sería demasiado engorroso denotar cada bijección con una letra especial (como $\Phi$). Quiero escribirlo de una manera concisa.

Por ejemplo, podría denotar la bijección de $A_i$ a $A_j$ como $\phi_{A_i, A_j}$ pero esto no es formalmente correcto ya que primero tendría que demostrar que $A_i \neq A_j$. Luego lo denotaría como $\phi_{i, j}$ pero de esta manera tendría que numerar explícitamente mis conjuntos, y sería mejor usar nombres en inglés o tal vez letras para denotar los conjuntos y no números.

La mejor solución que encontré hasta ahora es denotar cada conjunto con alguna letra y denotar mis bijecciones como $\phi_{\alpha, \beta}$, donde $\alpha$ y $\beta$ determinan algunos conjuntos. Esta solución no es ideal, porque para cada conjunto considerado requeriría dos notaciones diferentes para denominarlo: digamos $A_1$ y $\alpha$.

Esta es hasta ahora la mejor solución que conozco. Pero quizás alguien pueda sugerirme un mejor lenguaje para formular mi teorema?

Answer 1

Cada biyección $\phi$ determina su dominio y rango. ¿Por qué no expresar tu teorema en términos del conjunto indexado de biyecciones $\phi_j$ donde $j$ varía sobre algún conjunto de índices arbitrario $I$? Puedes definir $D_j$ y $R_j$ (por ejemplo) como el dominio y rango de $\phi_j$ respectivamente. Los conjuntos $D_j$ y $R_j$ son tus $A_i$ pero no tienes que preocuparte si son distintos.

Answer 2

Si entiendo correctamente, tus conjuntos $A_i$ ya están indexados, ya que de lo contrario probablemente no los llamarías "$A_i". Por lo tanto, creo que lo mejor sería usar la notación $\phi_{i,j}:A_i\to A_j$ como has sugerido. Dado que los conjuntos ya están indexados, no es necesario utilizar ningún número adicional y también puedes usar nombres en inglés o colores o lo que desees. Explicaré con más detalle a continuación.

Entonces, tienes una colección $\mathcal{A}$ de conjuntos. Quieres darles nombres (quizás ya lo hayas hecho). Esto se logra eligiendo un conjunto de índices $\mathcal{I}$ y una función $\Phi:\mathcal{I}\to\mathcal{A}$. Esto tiene el efecto de nombrar los conjuntos: para $i\in\mathcal{I}$ ahora es conveniente escribir $\Phi(i)=A_i. (Y es esto lo que hace posible considerar el mismo conjunto múltiples veces de posiblemente diferentes formas. Porque, si $\Phi(i)=\Phi(j)$ es el mismo conjunto para dos índices diferentes, podrías considerarlos como dos "instancias" del mismo conjunto. Si deseas considerar un conjunto múltiples veces de manera diferente, nombrarlo con dos nombres diferentes es, creo, básicamente inevitable.) Si no te gustan los números, puedes tomar $\mathcal{I}$ aquí como un conjunto de nombres en inglés, dándole a tus conjuntos nombres en inglés.

Pero, como estás diciendo, tus bijecciones están determinadas de forma única por los pares ordenados de conjuntos. Por lo tanto, puede que en realidad no haya necesidad real de indexar tus conjuntos y podrías simplemente trabajar con la colección (no indexada) $\mathcal{A} Y si de todas formas quieres indexarla, simplemente utiliza $\mathcal{I}=\mathcal{A}$ y define $\Phi:\mathcal{I}\to\mathcal{A}$ como el mapa identidad.

Pienso que no hay necesidad de hacer esto en tu caso. Dado que has afirmado que las bijecciones están determinadas de forma única por los pares de conjuntos, podrías indexar estas bijecciones por los pares que los determinan de forma única. Por ejemplo, si $\phi:A\to B$ es la única bijección de $A$ a $B$, podrías simplemente nombrarla $\phi_{(A,B)}$. Dado que el par (A,B) determina de forma única la bijección, tal notación no debería presentar problemas y está bien definida en el sentido de que si $A=C$ y $B=D$, entonces $(A,B)=(C,D)$ es el mismo par y por lo tanto determina de forma única la bijección $\phi_{(A,B)} = \phi_{(C,D)}. (Nota que en este caso, nunca necesitarás realmente usar dos nombres para un sólo conjunto.)

Espero que alguna de estas sugerencias te sirva.

Answer 3

La mejor idea que se me ocurrió es la siguiente:

Considerar solo bijecciones del conjunto $A_0$ con $A_i$ para cada $i\ne 0$. No es necesario decir explícitamente sobre las bijecciones de cada $A_i$ con $A_j$.

Las restantes bijecciones pueden ser fácilmente deducidas por un lector de mi escrito.