Desigualdades con entropía con corchetes

Question

Mostrar que para todo $1\leq p < \infty$:

$$H_p(\delta, \mathcal G, Q) \leq H_{p, B}(\delta, \mathcal G, Q) \leq H_\infty (\delta / 2, \mathcal G)$$

donde $H_p$ es la entropía $\delta$ de la clase de funciones $\mathcal G$ bajo la norma $L_p(Q)$ y $H_{p, B}$ es la entropía con entramado y $H_\infty$ es la entropía $\delta$ bajo la norma sup.

Lo que he intentado

Para la primera desigualdad podemos mostrar que un conjunto de entramados de tamaño $\delta$ para $\mathcal G$ produce un recubrimiento de $\delta$ de $\mathcal G$. Observa que para una función $g \in \mathcal G$ y su entramado $[g_j^L, g_j^U]$ tenemos:

$$\|g_j^L - g\|_{p, Q} + \|g_j^U - g\|_{p, Q}= \|g_j^L - g_j^U\|_{p, Q} \leq \delta$$

Así que ya sea $g_j^L$ o $g_j^U$ son suficientes como conjunto de recubrimiento.

Para la segunda desigualdad estoy teniendo más problemas. Mi pensamiento original fue intentar el mismo método que para la primera desigualdad o intentar construir un entramado a partir de un recubrimiento de norma sup $\delta$ pero no he encontrado una manera de hacerlo que implique la desigualdad. También he intentado reformular el requisito como:

Si $H_\infty(\delta/2, \mathcal G) \leq N$ entonces $H_{p, B}(\delta, \mathcal G, Q) \leq N$

Answer 1

Dada una cobertura de radio sup-norma $\delta/2$, llamémosla $\{g_j\}$, consideremos los intervalos $[g_j^L, g_j^U]$ donde $g_j^L(x) = g_j(x) - \delta/2$ y $g_j^U(x) = g_j(x) + \delta/2$. Si $Q$ es una medida de probabilidad, entonces $\|g^L_j - g^U_j\|_{p, Q} = \delta$, y por construcción estos intervalos cubren $\mathcal{G}$.