Inducción con dos parámetros variables

Question

Me asignaron este problema de tarea: $$\ {s \choose s} + {s+1 \choose s} +...+ {n \choose s} = {n+1 \choose s+1}$$ para todo s y todo $n \geq s$ He intentado enviar un correo electrónico tanto a mi profesor como a mi asistente y sus explicaciones parecen contradictorias. Mi profesor respondió diciendo que la afirmación que necesito demostrar es "La fórmula es correcta para $0 \leq s \leq n$." Mientras que mi asistente me dijo que necesito usar inducción en ambas variables y no estoy seguro de cómo hacerlo. ¡Cualquier ayuda es apreciada!

Answer 1

Usa inducción en $n$. Fija $s \leq n$. Si la ecuación se cumple, entonces se cumple con $n$ cambiado a $n+1$ debido a la siguiente identidad: $\binom {n+1} {s+1} +\binom {n+1} s=\binom {n+2} {s+1}$. Puedes verificar esta identidad escribiendo los coeficientes binomiales en términos de factoriales. Para completar la demostración, solo tienes que verificar la ecuación con $n$ cambiado a $n+1$ y $s=n+1$. ¡Pero esto se reduce a $1=1$!