Demuestra que para conjuntos $A$, $B$ y $C$, si $C \subseteq B$, entonces $(A\setminus B)\cap C = \varnothing$.

Question

Solo necesito la prueba de esto. ¿Cómo se demuestra que dados $A, B, C$, si $C\subseteq B$, entonces $(A\setminus B)\cap C$ es igual a un conjunto vacío?

Answer 1

$(A\setminus B)\cap C = (A\cap \bar B)\cap C = A \cap (\bar B\cap C)$. Pero $C\subseteq B$ y por lo tanto $C\cap \bar B=\emptyset$, lo cual implica que $A \cap (\bar B\cap C) = A\cap\emptyset = \emptyset$.

Answer 2

Supongamos que $(A \setminus B) \cap C \neq \varnothing$. Sea $x \in (A \setminus B) \cap C$. Entonces $x\in (A \setminus B)$, y por lo tanto, no está en B. Sin embargo, $x\in C$ que es un subconjunto de $B$. Entonces $x\in B$. Eso es una contradicción.

Answer 3

En lugar de contradicción, podría querer probar el contrapositivo:

si $(A\setminus B)\cap C\ne\emptyset$, entonces $C\not\subseteq B$

Supongamos que $x\in (A\setminus B)\cap C$. Entonces, $x\in A\setminus B$ y $x\in C$. Por lo tanto,

1. $x\in A$
2. $x\notin B$
3. $x\in C$

¿Qué te dicen 2 y 3?

Answer 4

$C\subseteq B \implies A\setminus B\subseteq A\setminus C$,

$\therefore (A\setminus C) \cap C=\emptyset\implies (A\setminus B) \cap C=\emptyset$.

Answer 5

Esto se puede demostrar usando:

• ley de dominación: $X\cap\emptyset = \emptyset $

• asociatividad de $\cap$: $(X \cap Y)\cap Z = X \cap (Y\cap Z)$

• conmutatividad de $\cap$: $(X \cap Y) = (Y\cap X) $

$(1)$ Supongamos que $C\subseteq B $

$C\subseteq B $

$ \implies \forall (x) \space ( x\in C \rightarrow x \in B) $

$ \implies \forall (x) \neg \space(x\in C \land x \notin B) $

$ \implies \forall (x) \neg \space(x\in C \land x \in \overline{B}) $

$ \implies \forall (x) \neg x\in \space C\cap \overline{B} \space $ (por definición de $\cap$)

$ \implies \neg \space \exists x\in \space C\cap \overline{B} $

$ \implies C\cap \overline{B} = \emptyset $

$(2)$ Ahora, aún bajo nuestra hipótesis,

$(A\setminus B)\cap C $

$= (A\cap \overline{B})\cap C$ (por definición de la operación \)

$ = A\cap (\overline{B}\cap C)\space \space$ (por asociatividad de $\cap \space $)

$ = A\cap (C \cap \overline{B})\space \space$ (por conmutatividad de $\cap \space $)

$= A \cap \emptyset\space $ (en virtud de nuestra hipótesis, sustituyendo $\emptyset$ por $C\cap\overline {B}$)

$ = \emptyset\space $ (por la ley de la dominación)

$(3)$ Dado que hemos derivado $(A\setminus B)\cap C = \emptyset $ bajo la hipótesis $C\subseteq B $, la regla de prueba condicional nos permite concluir que:

si $C\subseteq B $ entonces $(A\setminus B)\cap C = \emptyset$.