Calcula: $F(x)=\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{i xt}}{t^{\alpha}}dt\quad \text{avec}~x\in \mathbb{R}~\text{ et }~0<\alpha<1$

Question

Me gustaría calcular esta integral:

$F(x)=\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{ixt}}{t^{\alpha}}dt\quad \text{con}~x\in \mathbb{R}~\text{ y }~0<\alpha<1$

Calculé: $\displaystyle F(ix)=\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-xt}}{t^{\alpha}}dt=x^{\alpha-1}\Gamma(1-\alpha)$ pero no $F(x)$

Estoy interesado en cualquier respuesta o comentario.

Answer 1

Para $0 < \varepsilon < R < \infty$, considerar el contorno $C_{\varepsilon,R}$ que consta de

• el intervalo $[\varepsilon,R]$ en el eje real,
• el cuarto de círculo desde $R$ hasta $iR$,
• el intervalo $[iR,i\varepsilon]$ en el eje imaginario, y
• el cuarto de círculo desde $i\varepsilon$ hasta $\varepsilon$.

Dado que la integranda $z^{-\alpha} e^{ixz}$ es holomorfa en - por ejemplo - $\mathbb{C}\setminus (-\infty,0]$, tenemos

$$\int_{C_{\varepsilon,R}} z^{-\alpha} e^{ixz}\,dz = 0.$$

Según el lema de Jordan, la integral sobre el gran cuarto de círculo tiende a $0$ cuando $R\to\infty$. Por la estimación estándar (desigualdad ML), la integral sobre el pequeño semicírculo tiende a $0$ cuando $\varepsilon \to 0$.

Se sigue que

$$\int_0^\infty \frac{e^{ixt}}{t^\alpha}\,dt = e^{-\alpha\pi i/2} \int_0^\infty \frac{e^{-xt}}{t^\alpha}\,dt = e^{-\alpha\pi i/2} x^{\alpha-1}\Gamma(1-\alpha).$$

Answer 2

1)-para el caso $x>0$, supongamos que: $u=(xt)^{1-\alpha}$, obtenemos:

$F(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{e^{i xt}}{t^{\alpha}}dt=\frac1{x^{1-\alpha}(1-\alpha)}\int_0^{+\infty}e^{\displaystyle i u^\beta}du$ con $\beta=\dfrac1{1-\alpha}>1$

la última integral es clásica (generalización de la integral FRESNEL) que es:

$\displaystyle\frac1{\beta}\Gamma(\frac1{\beta})e^{\displaystyle i\frac{\pi}{2\beta}}$

finalmente obtenemos: $F(x)=\dfrac{\Gamma(1-\alpha) e^{\displaystyle i\frac{\pi}2(1-\alpha)}}{x^{1-\alpha}}$

2)-para $x<0$ obtenemos con el conjugado $F(x)=\dfrac{\Gamma(1-\alpha) e^{\displaystyle -i\frac{\pi}2(1-\alpha)}}{(-x)^{1-\alpha}}$

3)-para $x=0$ la integral diverge