¿Cuál es la expansión en series de Fourier de $\frac{1}{x}$ ?
El mejor método que se me ocurrió fue desplazar la función por 'k' (desplazando la función a $\frac{1}{x - k}$), para que al calcular los coeficientes no te encuentres con la discontinuidad de 1/x.
¿Existe un método diferente para calcular la serie de Fourier de $\frac{1}{x}$.
Es verdad que $f(x)=1/x$ no es localmente integrable en $0$, por lo que hay un problema.
Como señala @reuns, una opción es interpretar "$1/x$" como la integral de valor principal de Cauchy $\lim_{\epsilon\to 0}\int_{\epsilon\le|x|\le\pi}{e^{2\pi inx}\,dx\over x}$. Una integral de "valor principal" similar se puede organizar en $[0,2\pi]$, si así se desea.
Pero la no local-integrabilidad no se puede evitar. La integral de "valor principal" no es una integral literal, ya que la integral literal (impropia) requeriría que los límites debajo de $0$ y arriba de $0$ sean independientes... lo cual no es posible.
Por lo tanto, realmente, uno probablemente está preguntando sobre la serie de Fourier de una distribución, dada por la integral de valor principal (como en la respuesta de @reuns).
Sea $\hat{f}$ la transformada de Fourier de alguna función $f$.
Considera la imagen de los números enteros bajo esta transformada de Fourier $$\{\hat{f}(n) | \ n\in\mathbb{Z}\}$$ Observa que la serie de Fourier inversa de este conjunto, $$\sum\limits_{n\in\mathbb{Z}} \hat{f}(n) e^{i n}, $$ es igual (casi siempre) a alguna función periódica. Si calculas la Transformada de Fourier de $1/x$, como se hace aquí y aquí, obtienes los coeficientes de la serie de Fourier $$c_n = \hat{f}(n).$$ En este caso, si el dominio de $\frac{1}{x}$ es $[-\pi, \pi)$ entonces $$c_n = \frac{i}{2}sgn(n).$$
De la misma manera, debe ser posible hacer el mismo análisis para la Serie de Fourier.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
