Función continua en casi todas partes que no se puede extender a una función continua

Question

Encuentra $f:\mathbb R \to \mathbb R$ una función casi en todas partes continua tal que no exista ninguna función $g:\mathbb R \to \mathbb R$ continua con $f=g$ casi en todas partes.

Mi intento de solución

Estaba tratando de construir una función $f$ con tales características y pensé en una función que sea constante en intervalos de la forma $(n,n+1)$ para $n$ entero y tenga saltos de altura $1$ entre dos enteros. No sabía cómo definir explícitamente esta función, pero la idea es que $f$ en $[0,1)$ tiene el valor $0$; en $[1,2)$ toma el valor $1$; en $[2,3)$, $0$, y continúa de esta manera y la define de la misma manera para los negativos.

Es claro que esta función es continua casi en todas partes (excepto en los enteros), pero no sabía cómo mostrar que no se puede extender a una función continua en la recta real. Agradecería cualquier sugerencia o ayuda para probar esto y también si hay una forma agradable de definir la función que acabo de construir.

Answer 1

Solo tomar $f=0$ en $(-\infty,0]$ y $f=1$ en $(0,\infty)$. Supongamos que $g$ es una función continua tal que $g=f$ casi en todas partes, entonces tienes dos opciones:

1. $g(0) \neq 0$: Entonces existe $\delta > 0$ tal que $g(x) \neq 0$ en $(-\delta,0]$ y $f(x) = 0$ en $(-\delta,0]$, lo cual contradice el hecho de que $g=f$ casi en todas partes.

2. $g(0) = 0$: Entonces elige $\delta > 0$ tal que $|g(x)|< 1/2$ en $[0,\delta)$. Una vez más esto contradice las suposiciones de que $g=f$ casi en todas partes.