Por ejemplo, ¿cuántos números enteros contienen un ocho? Bueno, para los números enteros menores que diez, es solo el mismo ocho, así que eso es el 10%, y para los números enteros menores que cien, hay 8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, los 80, y 98, así que eso es 19 de cada 100, que es el 19%; el porcentaje aumentó, y para los números enteros menores que 1.000, tenemos esos números enteros nuevamente, pero con un 1 al 9 al frente, contando todos los de los 800. Entonces, eso es 19*9=171+100=271. 271/1.000=27.1%, así que está subiendo. Podemos hacer algo similar para los números enteros menores que 10.000: 9*271=2.439+1.000=3.439. 3.439/10.000=34.39%. Está subiendo cada vez. Debido a que esto sucede, ¿es posible que todos los números enteros contengan alguno de los dígitos del cero al nueve (solo uno de cada diez)?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
El número de enteros más pequeños que $10^n$ y que contienen al menos un $8$ es igual a $$10^n - 9^n$$
Esto se debe a que el número de enteros sin ochos es $9^8$.
Esto significa que los números con al menos un ocho representan $$1 - \left(\frac9{10}\right)^n$$ de todos los números, un número que tiende a $1$ a medida que $n$ se vuelve grande.
John Fouhy
Puntos
759
Sí, a medida que observas $N$ más grandes y grandes, la fracción de números en el rango $1, \ldots, N$ que contienen todos los dígitos en su expansión decimal se acerca a $1$. Por ejemplo, si $N=10^M$, entonces estamos eligiendo $M$ dígitos al azar. La probabilidad de que no contengas todos los dígitos es a lo sumo $10(9/10)^M$, y esto tiende a cero a medida que $M$ tiende a infinito.
