Describe los mapas bilineales invariantes en el grupo lineal

Question

Disculpas si esta es una pregunta tonta; al menos es una pregunta natural. Sea $V$ un espacio de dimensión finita sobre $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$. Denotemos por ${\mathcal L}(V)$ al espacio vectorial de todos los endomorfismos de $V$; tiene dimensión $n^2$, donde $n={\sf dim}(V)$. Además, denotemos por ${\cal B}(V)$ al espacio de todos los mapas bilineales ${\mathcal L}(V) \times {\mathcal L}(V) \to {\mathcal L}(V)$ (esto tiene dimensión $n^6$). Digamos que un $b \in {\cal B}(V \times V,V)$ es invariante si satisface

$$b({g}^{-1}f_1g,{g}^{-1}f_2g)={g}^{-1}b(f_1,f_2)g$$ para cualquier $g$ invertible en ${\mathcal L}(V)$ y cualquier $f_1,f_2 \in {\mathcal L}(V)$. Claramente, los mapas bilineales invariantes forman un subespacio de ${\cal B}(V)$, lo denotaremos por ${\cal I}(V)$.

Para $n=2$, calculé una base de ${\cal I}(V)$ y encontré que ${\cal I}(V)$ tiene dimensión $7$ (ver actualización abajo).

En general, ¿se conoce la dimensión de ${\cal I}(V)$? ¿O incluso mejor, una descripción simple de los elementos de ${\cal I}(V)$, o de alguna base de este?

Actualización 15/10/2002 Como se solicitó en un comentario, más detalles cuando $n=2$: en este caso ${\cal I}(V)$ tiene una base formada por seis elementos "simplemente descritos" y un séptimo complicado:

$$\begin{array}{ccl} b_1(f,g)&=&fg \\ b_2(f,g)&=&gf \\ b_3(f,g)&=&{\sf tr}(f)g \\ b_4(f,g)&=&{\sf tr}(g)f \\ b_5(f,g)&=&{\sf tr}(f){\sf tr}(g){\mathbf{id}}_V \\ b_6(f,g)&=& {\sf tr}(fg) {\mathbf{id}}_V \end{array}$$

y el séptimo se puede definir en términos de matrices:

$$b_7\Bigg( \left(\begin{matrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \\ \end{matrix}\right), \left(\begin{matrix} y_{11} & y_{12} \\ y_{21} & y_{22} \\ \end{matrix}\right) \Bigg)=\left(\begin{matrix} x_{21}y_{12}-x_{12}y_{21} & (y_{11}-y_{22})x_{12}-(x_{11}-x_{22})y_{12} \\ -(y_{11}-y_{22})x_{21}+(x_{11}-x_{22})y_{21} & -x_{21}y_{12}+x_{12}y_{21} \\ \end{matrix}\right)$$

Edición 24/10/2012 : Algunas afirmaciones ligeramente incorrectas corregidas arriba.

Answer 1

El enlace proporcionado por Mariano Suarez-Alvarez en línea responde a la mayoría de lo que se puede preguntar sobre este tema.

Aquí intentaré proporcionar una prueba elemental para la pregunta específica en el OP. El resultado es que para $n\geq 2$, ${\cal I}(V)$ siempre tiene dimensión seis y tiene una base $b_1,b_2, \ldots b_6$ como se describe en la actualización en el OP (por lo tanto, $b_7$ es excepcional y solo existe en dimensión $2$).

Ahora fija una base $(v_1,v_2, \ldots ,v_n)$ de $V$. Sea $({v_1}^{*},{v_2}^{*}, \ldots ,{v_n}^{*})$ la base dual en $V^*$, y pon $e_{ij}(x)={v_i}^{*}(x)e_j$. Entonces los $e_{ij}$ forman una base para ${\cal L}(V)$, que llamamos $\cal E.

Ahora usaremos la propiedad de invarianza, haciendo que actúen algunos endomorfismos especiales en $V$ y, por lo tanto, en ${\cal L}(V) \otimes {\cal L}(V)$ (denotemos este espacio por ${\cal T}(V)$; entonces ${\cal E}\otimes{\cal E}=\lbrace e \otimes f | e,f \in {\cal E} \rbrace$ es una base de este espacio).

Sean $p_1,p_2, \ldots ,p_r$ primos distintos (para que no exista ninguna relación multiplicativa no trivial entre ellos), y sea $d$ el endomorfismo diagonal definido por $d(v_i)=p_iv_i$. Entonces $d$ también actúa diagonalmente en ${\cal L}(V)$ y ${\cal T}(V)$: tenemos

$$\begin{array}{c} d^{-1}e_{ij}d=\frac{p_j}{p_i}e_{ij}, \\ (d^{-1}e_{ij}d) \otimes (d^{-1}e_{kl}d)=\frac{p_jp_l}{p_ip_k}(e_{ij} \otimes e_{kl}) \end{array}$$

Los subespacios propios para la acción de $d$ en ${\cal L}(V)$ son (a partir de ahora $i,j,k,l$ etc. siempre representan índices diferentes):

Para el autovalor $1$, el subespacio de dimensión $n$ $V_1={\sf Vect}(e_{xx})_{1 \leq x \leq n}$

Para el autovalor $\frac{p_j}{p_i}$, el subespacio de dimensión $1$ $V_2(i,j)={\sf Vet}(e_{ij})$.

Los subespacios propios para la acción de $d$ en ${\cal T}(V)$ son:

Para el autovalor $1$, el subespacio de dimensión $n^2$ $W_1$.

Para el autovalor $\frac{p_j}{p_i}$, el subespacio de dimensión $4(n-1)$ $W_2(i,j)$

Para el autovalor $\frac{p_j^2}{p_i^2}$ el subespacio de dimensión uno $W_3(i,j)$.

Para el autovalor $\frac{p_jp_k}{p_i^2}$ el subespacio de dimensión dos $W_4(i,j,k)$.

Para el autovalor $\frac{p_k^2}{p_ip_j}$ el subespacio de dimensión dos $W_5(i,j,k)$.

Para el autovalor $\frac{p_jp_l}{p_ip_k}$ el subespacio de dimensión cuatro $W_6(i,j,k,l)$, donde

$$\begin{array}{lcl} W_1 &=& {\sf Vect}(e_{xx} \otimes e_{xx})_{1 \leq x \leq n} \oplus {\sf Vect}(e_{xx} \otimes e_{yy},\ e_{xy} \otimes e_{yx})_{1 \leq x \neq y \leq n} \\ W_2(i,j) &=& W_{2,1}(i,j) \oplus W_{2,2}(i,j) \\ & & W_{2,1} (i,j)={\sf Vect}(e_{ii} \otimes e_{ij},e_{ij} \otimes e_{ii},e_{ij} \otimes e_{jj},e_{jj} \otimes e_{ij}) \\ & & W_{2,2} (i,j)={\sf Vect}(e_{ij} \otimes e_{xx},e_{xx} \otimes e_{ij},e_{ix} \otimes e_{xj},e_{xj} \otimes e_{ix}, )_{x \in [1…n] \setminus \lbrace i,j \rbrace} \\ W_3(i,j) &=& {\sf Vect}(e_{ij} \otimes e_{ij}) \\ W_4(i,j,k) &=& {\sf Vect}(e_{ij} \otimes e_{ik},e_{ik} \otimes e_{ij}) \\ W_5(i,j,k) &=& {\sf Vect}(e_{ik} \otimes e_{jk},e_{jk} \otimes e_{ik}) \\ W_6(i,j,k,l) &=& {\sf Vect}(e_{ij} \otimes e_{kl},e_{il} \otimes e_{kj},e_{kj} \otimes e_{il},e_{kl} \otimes e_{ij}) \\ \end{array}$$

Por hipótesis, $b$ conmuta con la acción de $d$, entonces

$$(1) \ b(W_1) \subseteq V_1, \ b(W_2(i,j)) \subseteq V_2(i,j),\ b=0 \ \text{en todos los} \ W_3,W_4,W_5,W_6.$$

Esto nos proporciona una restricción especial sobre la forma de cada uno de los $n^4$ mapas individuales $f(e_{t_1t_2} \otimes e_{t_3t_4})$. Esas restricciones se pueden refinar aún más considerando lo siguiente: para $A\subseteq {\cal L}(V)$ deja que $S(A)$ denote el estabilizador de $A$ en $L(V)$, es decir,

$$S(A)=\Bigg\lbrace s \in L(V) \Bigg| \ \forall a\in A, \ \ sa=as \Bigg\rbrace$$

Luego, cualquier $s\in S(\lbrace e_{t_1t_2},e_{t_3t_4} \rbrace)$ fija el elemento $e_{t_1t_2} \otimes e_{t_3t_4}$. Deducimos que no solo $f(e_{t_1t_2} \otimes e_{t_3t_4})$ debe estar en el espacio asignado por (1), también debe estar en el conjunto $S'(\lbrace e_{t_1t_2},e_{t_3t_4} \rbrace)$ de endomorfismos fijados por todos los elementos invertibles de $S(\lbrace e_{t_1t_2},e_{t_3t_4} \rbrace)$. Por lo tanto, necesitamos calcular $S(\lbrace e_{t_1t_2},e_{t_3t_4} \rbrace)$ y $S'(\lbrace e_{t_1t_2},e_{t_3t_4} \rbrace)$ en general: un conjunto directo de cálculos de álgebra lineal muestra que

$$\begin{array}{lcl} S(e_{ii}) &=& {\sf Vect}(e_{ii}) \oplus {\sf Vect} (e_{xy})_{x\neq i,y \neq i} \\ S(e_{ij}) &=& {\sf Vect}(e_{ii}+e_{jj}) \oplus {\sf Vect} (e_{xy})_{x\neq j,y \neq i} \\ S(\lbrace e_{ii},e_{jj} \rbrace) &=& {\sf Vect}(e_{ii},e_{jj}) \oplus {\sf Vect} (e_{xy})_{x\not\in \lbrace i,j \rbrace, y \not\in \lbrace i,j \rbrace } \\ S(\lbrace e_{ii},e_{ij} \rbrace) &=& {\sf Vect}(e_{ii}+e_{jj}) \oplus {\sf Vect} (e_{xy})_{x\neq i, y \not\in \lbrace i,j \rbrace } \\ S(\lbrace e_{ii},e_{ji} \rbrace) &=& {\sf Vect}(e_{ii}+e_{jj}) \oplus {\sf Vect} (e_{xy})_{x\not\in \lbrace i,j \rbrace , y\neq i} \\ S(\lbrace e_{ij},e_{ji} \rbrace) &=& {\sf Vect}(e_{ii}+e_{jj}) \oplus {\sf Vect} (e_{xy})_{x\not\in \lbrace i,j \rbrace , y\not\in \lbrace i,j \rbrace } \\ S(\lbrace e_{ij},e_{kk} \rbrace) &=& {\sf Vect}(e_{ii}+e_{jj},e_{kk}) \oplus {\sf Vect} (e_{xy})_{x\not\in \lbrace j,k \rbrace , y\not\in \lbrace i,k \rbrace } \\ S(\lbrace e_{ij},e_{jk} \rbrace) &=& {\sf Vect}(e_{ii}+e_{jj}+e_{kk} ) \oplus {\sf Vect} (e_{xy})_{x\not\in \lbrace i,j \rbrace , y\neq k} \\ \end{array}$$

y por lo tanto

$$\begin{array}{lcl} S'(e_{ii}) &=& {\sf Vect}(e_{ii},{\sf id}_V) \\ S'(e_{ij}) &=& {\sf Vect}(e_{ii},e_{jj},e_{ij},{\sf id}_V) \\ S'(\lbrace e_{ii},e_{jj} \rbrace) &=& {\sf Vect}(e_{ii},e_{jj},{\sf id}_V) \\ S'(\lbrace e_{ii},e_{ij} \rbrace) &=& {\sf Vect}(e_{ii},e_{ij},e_{ji},e_{jj},{\sf id}_V) \\ S'(\lbrace e_{ii},e_{ji} \rbrace) &=& {\sf Vect}(e_{ii},e_{ij},e_{ji},e_{jj},{\sf id}_V) \\ S'(\lbrace e_{ij},e_{ji} \rbrace) &=& {\sf Vect}(e_{ii},e_{ij},e_{ji},e_{jj},{\sf id}_V) \\ S'(\lbrace e_{ij},e_{kk} \rbrace) &=& {\sf Vect}(e_{ii}+e_{jj},e_{ij},e_{kk},{\sf id}_V) \\ S'(\lbrace e_{ij},e_{jk} \rbrace) &=& {\sf Vect}(e_{jj},e_{ij},e_{ik},e_{jk},{\sf id}_V) \\ \end{array}$$

Combinando las dos restricciones, obtenemos lo siguiente: hay constantes de estructura $a_1,a_2, \ldots, a_{16}$ tales que para cualquier $i,j,k$ distintos

$$\begin{array}{lcl} b(e_{ii} \otimes e_{ii}) &=& a_1e_{ii}+a_2{\sf id}_V \\ b(e_{ii} \otimes e_{jj}) &=& a_3e_{ii}+a_4e_{jj}+a_5{\sf id}_V \\ b(e_{ij} \otimes e_{ji}) &=& a_6e_{ii}+a_7e_{jj}+a_{8}{\sf id}_V \\ b(e_{ii} \otimes e_{ij}) &=& a_{9}e_{ij} \\ b(e_{ij} \otimes e_{ii}) &=& a_{10}e_{ij} \\ b(e_{ij} \otimes e_{jj}) &=& a_{11}e_{ij} \\ b(e_{jj} \otimes e_{ij}) &=& a_{12}e_{ij} \\ b(e_{ij} \otimes e_{kk}) &=& a_{13}e_{ij} \\ b(e_{kk} \otimes e_{ij}) &=& a_{14}e_{ij} \\ b(e_{ij} \otimes e_{jk}) &=& a_{15}e_{ik}\\ b(e_{jk} \otimes e_{ij}) &=& a_{16}e_{ik} \\ b(e \otimes f) &=& 0 \ \text{para todos los demás } \ e \otimes f \ \text{en la base canónica.} \end{array}$$

(esas constantes de estructura deberían depender de los índices $i,j,k$ a priori, pero la invarianza por las matrices de permutación nos permite ver que no).

Si escribimos la invarianza con respecto a la acción de la traslación $p={\sf id}_V+te_{12}$, vemos que podemos expresar linealmente $a_{8},a_9,a_{10},a_{11},a_{12}$ en términos de $a_1,a_2 \ldots a_7$ (Omito algunos detalles computacionales aquí).

En dimensión $2$, esto es suficiente ya que ya tenemos siete mapas independientes ($b_1$ a $b_7$ como en el OP).

En dimensión $n \geq 3$, de manera similar podemos escribir la invarianza con respecto a endomorfismos de la forma ${\sf id}_V+ue_{12}+ve_{13}+we_{23}$, y de esta forma podemos expresar todas las $a_i$ linealmente en términos de $a_1,a_2, \ldots ,a_6$ solamente.

Dado que ya tenemos seis soluciones independientes ($b_1$ a $b_6$ como en el OP), esto concluye la prueba.