¿Cómo encontrar $dy/dx$ $y= \frac{x^2+\sin2x}{2x+\cos^2 x}$

Question

$$\frac{dy}{dx}\space\space y= \frac{x^2+\sin2x}{2x+\cos^2x}$$

Answer 1

Necesitamos la regla del cociente y la regla de la cadena para encontrar $\frac {dy}{dx} = y'$ dado que $$y= \frac{x^2+\sin2x}{2x+\cos^2x}$$

Dado un cociente de funciones: $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$

$$f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}$$

En tu caso, tenemos $$f(x) = \frac{x^2+\sin2x}{2x+\cos^2x}$$

Así que pon $g(x) = x^2 + \sin 2x,\;$ y $\;h(x) = 2x + \cos^2x$.

Ahora, $g'(x) = 2x + 2\cos 2x,\;$ y $\;h'(x) = 2 - 2\cos x \sin x = 2 - \sin(2x)$.

Entonces $$f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}$$ $$f'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{(2x + 2\cos 2x)(2x + \cos^2 x) + (x^2 + \sin 2x)(2 - \sin 2x)}{\left(2x + \cos^2 x\right)^2}$$

El resto del trabajo es simplemente simplificación algebraica.

Answer 2

Recuerda la regla del cociente: si $f(x)=\frac {g(x)}{h(x)}$ entonces $f'(x)=\frac {(h(x)g'(x)-g(x)h'(x)}{h^2(x)}$. ¿Puedes derivar el numerador y el denominador, y luego sustituir en esta fórmula?

Answer 3

Usando la fórmula

si $y=\frac {f(x)}{g(x)}$ entonces $\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}y=\left( \frac {f'(x)}{f(x)} - \frac {g'(x)}{g(x)} \right)\frac {f(x)}{g(x)}$

$$\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}=\left( \frac{(2x+ 2 \cos 2x)}{\mathrm (x²+\sin2x)} - \frac{(2-2\cos x \sin x)}{\mathrm (2x+\cos^2x)} \right) \frac{x²+\sin2x}{2x+\cos^2x}$$