La pregunta debería ser trivial, pero aún no logro entenderla:
Pregunta. Supongamos que tenemos un objeto $y$ perteneciente al tipo $T$ (por ejemplo, $y$ puede ser un entero, matriz, conjunto, etc). Ahora supongamos que definimos $x := y$. ¿Es cierto para cualquier propiedad arbitraria $P$ que $P(x)$ es verdadero si y solo si $P(y)$ es verdadero?
En un intento por aclarar aún más mi pregunta, déjenme dar un ejemplo más concreto (las definiciones a continuación son tomadas del libro de Análisis Real de Terence Tao):
Definición 1 (Entero). Definimos entero como una expresión de la forma $a $$$$b$, donde $a,b$ son números naturales. Además, los enteros $a$$$$b$ y $c$$$$d$ son iguales si y solo si $a+d = c + b$.
Ahora supongamos que sin verificar si se cumple el axioma de sustitución para la mencionada definición de igualdad, procedemos a definir la suma de enteros:
Definición 2 (Suma de enteros). Para enteros arbitrarios $a$$$$b$ y $c$$$$d$, definimos la suma de enteros como $(a$$$$b)+(c$$$$d) := (a+c) $$$$ (b+d)$
Basándonos en las definiciones anteriores, ¿puedo asumir de manera segura que:
-
$(a$$$$b)+(c$$$$d)$ es un entero
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$P\bigr((a$$$$b)+(c$$$$d)\bigl) = P\bigr((a+c) $$$$(b+d)\bigl) $ para todas las funciones y operaciones $P$
?
En otras palabras, ¿para cualquier enunciado o expresión matemática arbitraria, puedo sustituir $(a+c) $$$$ (b+d)$ por $(a$$$$b)+(c$$$$d)$ (y viceversa) sin cambiar ni el valor de verdad ni el significado?
