¿Preserva una cadena de Markov de tiempo discreto incrustada sus propiedades en tiempo continuo?

Question

¿Dado un proceso de Markov de tiempo discreto sin incrementos independientes, es la inserción del mismo en un proceso de Markov de tiempo continuo (es decir, a través del uso de tiempos de espera exponenciales) un ejemplo de un proceso de Markov de tiempo continuo sin incrementos independientes?

Nota: Esta pregunta es derivada de una que hice anteriormente, ya que el proceso de Ornstein-Uhlenbeck fue una respuesta para todas las otras partes de esa pregunta excepto la parte que se pregunta de nuevo aquí.

Contexto:

Como respuesta a esta pregunta relacionada, el usuario @madprob dio un ejemplo de una cadena de Markov de tiempo discreto que no tiene incrementos independientes.

Específicamente, considere un proceso de tiempo discreto con espacio de estados $\mathbb{R}$ definido de la siguiente manera: $X_{n+1} = X_n + Z$, donde $Z|(X_n,X_{n-1},...,X_0) \sim N(-X_n, 1)$.

En general, cualquier proceso de Markov en tiempo discreto puede escribirse como $X_{n+1}=X_n+Z_{n+1}$ donde $Z_n = f(X_n,U_n)$ para alguna $f$ adecuada y una variable aleatoria $U_n$ que es independiente de $(X_{n-1},...,X_1,X_0)$ -- así que el problema de encontrar un proceso de Markov de tiempo discreto que no tiene incrementos independientes se reduce al problema de elegir una $f$ adecuada.

Presumiblemente existe un contraejemplo dado la respuesta a esta pregunta.

EDICIÓN: Supongo que el proceso de insertar una cadena de Markov en tiempo continuo esencialmente subordina un proceso de Poisson. Entonces, esta pregunta probablemente es solo un caso especial de si subordinar distribuciones infinitamente divisibles preserva propiedades de independencia.

Answer 1

Esto no es una respuesta en sí, sino más bien algunas reflexiones a considerar.

Si $\{X_n:n=1,2,\ldots\}$ es una cadena de Markov y definimos los tiempos de retención $\{T_n:n=1,2,\ldots\}$ por $T_n\sim\mathsf{Exp}(\lambda_{X_n})$, entonces la secuencia $\{T_n\}$ solo define un proceso de Poisson si $\lambda_{X_n}$ es igual para todos los $n$. De lo contrario, la intensidad sería un proceso estocástico en sí mismo, en cuyo caso el proceso de conteo $N(t):= \sum_{n=1}^\infty \mathsf 1_{(0,t]} T_n$ sería un proceso de Cox. (El proceso de salto definido por las transiciones de estado, por supuesto, sigue definiendo una CTMC).

Si la cadena incrustada puede tener transiciones de mismo estado con probabilidad positiva, entonces un tiempo de salto sería una suma geométrica del tiempo de retención para el estado actual y por lo tanto distribuido de manera exponencial, por lo que el proceso de salto seguiría siendo una CTMC.

Sospecho que puede haber una forma inteligente de definir los tiempos de retención para que la CTMC tenga incrementos independientes incluso si la cadena incrustada no los tiene, pero aún no estoy seguro de si ese es el caso.