Extendiendo una función de $C^2$ desde una curva de $C^{1,1}$ a algún vecindario

Question

Supongamos que tengo una curva simple y compacta $C^{1,1}$ $L$ en $\mathbb{R}^3$ y una función $C^2$ en ella (con $C^2$ significando con dos derivadas de longitud de arco continuas). ¿Se puede extender a una función $C^2$ en algún vecindario de la curva?

Leí sobre el Teorema de Extensión de Whitney, pero no estoy seguro si se puede aplicar aquí. Creo que basta con construir una extensión en un vecindario de cada punto de la curva. Luego puedo suponer que la dirección tangente en ese punto coincide con uno de los ejes de coordenadas. Pero la tangente posiblemente está cambiando, por lo que tendría que prescribir las derivadas parciales de tal manera que se sumen a la derivada de longitud de arco en cada punto de la curva, dependiendo de las coordenadas del vector tangente en ese punto, y lo mismo para la segunda derivada. Pero ¿estas condiciones junto con las condiciones de compatibilidad tienen solución? No sé cómo proceder.

Editar: La respuesta que recibí resuelve la pregunta para curvas en el plano, pero estoy interesado en curvas en $\mathbb{R}^3$ (ahora agregado arriba). La observación en la respuesta no parece funcionar, pero estaría contento si lo hiciera.

Answer 1

No, esto no se puede hacer en general. En lugar de un contraejemplo, demostraré algo "positivo".

Reclamación. Sea $f$ la función de longitud de arco de la curva $C^{1,1}$ $L$; es decir, $f(\gamma(t))\equiv t$ para $t\in [0,b]$ donde $\gamma:[0,b]\to\mathbb R^2$ es la parametrización de longitud de arco de $L$. Supongamos que $f$ tiene una extensión $C^2$ a un vecindario de $L$. Entonces $\gamma$ es $C^2$ en un subconjunto denso y abierto de $[0,b]$.

Prueba. Sea $u$ tal extensión. Diferencie $u\circ \gamma \equiv t$ con respecto a $t$ para obtener $$\langle (\nabla u)\circ \gamma ,\gamma' \rangle \equiv 1\tag1$$ que se puede escribir como $$ |(\nabla u)\circ \gamma|\, \cos \theta \equiv 1\tag2$$ donde $\theta=\theta(t)$ es el ángulo entre los dos vectores en (1). Dado que $(\nabla u)\circ \gamma $ es suave $C^1$ y no se anula, también lo es $1/|(\nabla u)\circ \gamma|$. Por lo tanto, $\cos \theta $ es suave $C^1$, lo que implica que $\theta $ es suave $C^1$ en el conjunto $U=\{t: \theta(t)\ne 0\}$.

El vector $\gamma'(t)$ se obtiene de $\dfrac{\nabla u(\gamma(t))}{|\nabla u(\gamma(t))|}$ rotándolo por $\theta(t)$ ya sea en sentido horario o antihorario. Dado que $\gamma'$ es continuo, la elección de sentido horario/antihorario es la misma dentro de cada componente conectada de $U$. Por lo tanto, $\gamma'$ es suave $C^1$ en $U$.

En el conjunto $N=\{t: \theta(t)= 0\}$ tenemos $\gamma' =(\nabla u)\circ \gamma $, y por lo tanto $\gamma'$ es $C^1$ en el interior de $N.

La unión de $U$ y del interior de $N$ es un subconjunto denso y abierto de $[0,b]$. $\Box$

---

Observaciones:

• no es difícil construir $\gamma\in C^{1,1}$ que no es $C^2$ en ningún intervalo no trivial, comenzando desde un elemento en ninguna parte continuo de $L^\infty$ e integrándolo dos veces.
• la reclamación no es cierta para curvas de dimensiones superiores, pero la respuesta sigue siendo la misma. De hecho, podemos diferenciar (1) casi en todas partes y encontrar que $\gamma''$ (que es una función vectorial de $L^\infty$) es casi en todas partes ortogonal a la función continua $((\nabla u)\circ \gamma)'$. No es difícil encontrar una función $L^\infty$ que no admita ninguna función ortogonal continua no nula. (Por ejemplo, haga que cada coordenada alcance los valores $1$ y $-1$ en un subconjunto de medida positiva de cada intervalo no trivial).