Supongamos que $a=\binom70+\binom73+\binom76, b=\binom71+\binom74+\binom77, c=\binom72+\binom75$. ¿Cómo se puede calcular algebraicamente $a^3+b^3+c^3-3abc$?

Question

$$ \begin{align} a = {7 \choose 0}+{7 \choose 3}+{7 \choose 6}\\ b = {7 \choose 1}+{7 \choose 4}+{7 \choose 7}\\ c = {7 \choose 2}+{7 \choose 5} \end{align} $$ entonces $a^3+b^3+c^3-3abc$ es igual a ____.

Intenté escribir $a^3+b^3+c^3-3abc$ en términos de $a+b+c$ y fallé.
$$ \begin{align} a^3+b^3+c^3-3abc & = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\\ & = (2^7)((a+b+c)^2-3(ab+bc+ca))\\ & = (2^7)((2^7)^2-3(ab+bc+ca)) \end{align} $$ Creo que la expresión debería escribirse en términos de otra serie binomial que no puedo pensar.

Answer 1

Más generalmente, sea $N\in \Bbb N$ y sea $$a=\sum_{0\le 3k\le N}\binom N{3k},$$ $$b=\sum_{0\le 3k+1\le N}\binom N{3k+1},$$ $$c=\sum_{0\le 3k+2\le N}\binom N{3k+2}.$$ (Tu caso es $N=7$.) Sea $\omega=\exp(2\pi i/3)=\frac12(-1+i\sqrt3)$. Entonces $\omega^3=1$. Además, por el teorema del binomio $$a+b+c=(1+1)^N=\sum_{j=0}^N\binom Nj=2^N,$$ $$a+b\omega+c\omega^2=\sum_{j=0}^N\binom Nj\omega^j=(1+\omega)^N,$ $$a+b\omega^2+c\omega=\sum_{j=0}^N\binom Nj\omega^{2j}=(1+\omega^2)^N.$$ Entonces \begin{align} a^3+b^3+c^3-3abc&=(a+b+c)(a+b\omega+c\omega^2)(a+b\omega^2+c\omega)\\ &=[2(1+\omega)(1+\omega^2)]^N=2^N \end{align} ya que $(1+\omega)(1+\omega^2)=1$.

AGREGADO EN LA EDICIÓN

Aquí está básicamente el mismo argumento, pero evitando los números complejos. Sea $A=\pmatrix{0&1&0\\0&0&1\\1&0&0}$. Entonces $A^2=\pmatrix{0&0&1\\1&0&0\\0&1&0}$ y $A^3=I$ etc. Entonces $$(I+A)^N=\sum_{j=0}^N\binom Nj A^j=\pmatrix{a&b&c\\c&a&b\\b&c&a}.$$ Como $\det(I+A)=2$, entonces tomando determinantes se tiene $$2^N=a^3+b^3+c^3-3abc.$$

Answer 2

No es necesario reescribir la expresión, simplemente puedes sustituir los valores de $a,b,c$ directamente. Dado que $$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},$$

obtenemos (dejaré el álgebra en tus manos)

$$a=1 + 35 + 7 = 43$$ $$b=7 + 35 + 1 = 43$$ $$c=21 + 21 =42$$ de manera que $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc= 128$. Observa que la identidad útil $$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$$ puede ser utilizada para reducir el número de cálculos anteriores por ejemplo $\binom{7}{3}=\binom{7}{4}$ y $\binom{7}{2}=\binom{7}{5}$.

Answer 3

Vale la pena destacar que

1. porque $\tbinom{n}{k}=\tbinom{n}{n-k}$ tenemos $a=b$,
2. porque $\sum_{k=0}^n\tbinom{n}{k}=2^n$ tenemos $c=2^7-a-b=2^7-2a$.

Se sigue que \begin{eqnarray*} a^3+b^3+c^3-3abc &=&2a^3+(2^7-2a)^3-3a^2(2^7-2a)\\ &=&(2-2^3+3\cdot2)a^3+(3\cdot2^9-3\cdot2^7)a^2-3\cdot2^{15}a+2^{21}\\ &=&2^73^2a^2-3\cdot2^{15}a+2^{21}\\ &=&2^7((3a)^2-2^8(3a)+2^{14})\\ &=&2^7(3a-2^7)^2. \end{eqnarray*} Un cálculo rápido muestra que $3a-2^7=1$ y por lo tanto el resultado es $2^7=128$.