Al resolver problemas de integrales indefinidas muchas veces obtengo respuestas diferentes a las que se muestran en la página de claves de respuestas de mi libro de texto. Luego verifico los pasos de mi solución para asegurarme de que mi respuesta también sea correcta. Ahora mi pregunta es, ¿Puede haber respuestas diferentes? Si es así, ¿cómo puedo asegurarme de que todas esas respuestas diferentes sean correctas?
Respuestas
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Orange Peel
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De hecho, este será el caso cuando las respuestas difieran por una constante. Un ejemplo donde esto no es tan obvio es la integral de algo como $1/(3x)$. Al sacar un tercio de la integral, obtendrías el resultado de $$\frac{\ln(x)}{3}+C,$$, pero al multiplicar el numerador por $3$, y multiplicar la integral por $1/3$ obtendrías $$\frac{\ln(3x)}{3}+c.$$. Estos se ven claramente diferentes; sin embargo, puedes notar que $$ln(3x) = ln(x) + ln(3).$$ Entonces, las dos respuestas de hecho difieren por una constante. De particular interés es el hecho de que si diferencias ambas respuestas serán iguales.
Reese
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Podrían estar en juego dos factores: primero, hay que tener en cuenta que las integrales indefinidas siempre incluyen una constante arbitraria, lo que significa que diferentes enfoques pueden resultar en desplazar el resto por una constante. Por ejemplo, su libro podría decir que la solución es $\sin(x) + c$, mientras que su respuesta es $\sin(x) + 1 + c$; no hay diferencia, porque el $c$ "absorbe" el $1$. Puede estar más astutamente disfrazado; como señaló Orange Peel en su respuesta, $\ln(3x)$ y $\ln(x)$ difieren solo por una constante, $\ln(3)$, así que si obtiene $\ln(3x)+c$ y su texto dice $\ln(x)+c$, aún tiene razón.
El segundo factor es simplemente una simplificación. Especialmente cuando se trata de expresiones trigonométricas y logaritmos, no siempre es obvio cuando dos expresiones son iguales; por ejemplo, $\sec^2(x)\cos(x) = \cos(x) + \tan(x)\sin(x)$. Al hacer una integral, utilizar un enfoque podría darte una expresión, y otro enfoque podría darte otra; ambos son correctos, pero no es inmediatamente evidente que son iguales. Esto puede complicarse aún más por el primer factor; $\sec^2(x) = \tan^2(x) + 1$, así que $\sec^2(x) + c$ y $\tan^2(x) + c$ son equivalentes como soluciones a una integral indefinida.
Pero, por otro lado, no hay ningún caso en el que una integral realmente tenga dos soluciones diferentes; solo pueden "parecer" diferentes. Por ejemplo, $x + c$ y $x^2 + c$ no pueden ser ambas soluciones de la misma integral, porque $x$ y $x^2$ no difieren por una constante.
