¿Un mapa sobreyectivo no expansivo entre espacios métricos con el mismo diámetro es una isometría?

Question

Sea $(X_1,d_1),(X_2,d_2)$ sean espacios métricos compactos y conectados, y sea $f:X_1 \to X_2$ sobreyectiva y no expansiva, es decir $$d_2(f(x),f(y)) \leq d_1(x,y).$$

Supongamos que $\operatorname{diam}(X_1)=\operatorname{diam}(X_2)$. ¿Es cierto que $f$ es una isometría?

(La respuesta se conoce positiva en el caso donde $(X_1,d_1)=(X_2,d_2)$).

Actualización:

Resulta que la respuesta es negativa ($f$ no tiene que ser una isometría, ver respuesta de Daniel Fischer abajo).

Un punto interesante:

No hay manera de adaptar la idea de Daniel para crear un ejemplo "suave" (riemanniano) unidimensional.

Dado que cada par de variedades riemannianas compactas y conectadas de dimensión uno con diámetros iguales son isométricas, existe una isometría $\phi:X_2 \to X_1$. Por lo tanto, $f \circ \phi:X_2 \to X_2$ es una aplicación sobreyectiva no expansiva de un espacio métrico compacto a sí mismo, por lo tanto, una isometría.

Resulta que es posible construir ejemplos riemannianos en dimensiones superiores donde $f$ no es una isometría (ver nuevamente la respuesta de Daniel).

Answer 1

$f$ no necesita ser una isometría. Sea $X_1 = [0,3],\, X_2 = [0,2]$, y $d_i(x,y) = \min \{ \lvert x-y\rvert, 1\}$. Entonces $X_1,X_2$ son espacios métricos compactos con diámetro $1$, y $f \colon x \mapsto \frac{2}{3} x$ es un homeomorfismo no expansivo que no es una isometría.

Con respecto al añadido: Si permitimos variedades con borde, podemos tomar por ejemplo dos elipses con el mismo diámetro, como

$$X_1 = \bigl\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : \tfrac{x^2}{100} + y^2 \leqslant 1\bigr\},\quad X_2 = \bigl\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : \tfrac{x^2}{100} + 4y^2 \leqslant 1\bigr\}$$

con la métrica euclidiana heredada de $\mathbb{R}^2$. Entonces $f \colon (x,y) \mapsto (x,y/2)$ es un difeomorfismo no expansivo pero no isométrico.

Creo que podemos obtener un ejemplo sin bordes para elipsoides

$$X_1 = \bigl\{ (x,y,z) : a^2 x^2 + b^2 y^2 + c^2 z^2 = 1\bigr\},\quad X_2 = \bigl\{ (x,y,z) : a^2 x^2 + b^2 y^2 + d^2 z^2 = 1\bigr\}$$

y $f \colon (x,y,z) \mapsto (x,y,cz/d)$ con $a < c < d < b$ cuando $a$ es suficientemente pequeño, $b$ suficientemente grande y $d-c$ pequeño, pero sin cálculos, no puedo garantizar que los diámetros sean realmente iguales [que los puntos más alejados en ambos elipsoides sean $(-1/a,0,0)$ y $(1/a,0,0)$].