¿Qué condición sobre los coeficientes $a_n$ garantizará que $f(x) = \Sigma_{n = -\infty}^{\infty}a_{n}e^{2\pi inx}$ sea k veces diferenciable?

Question

$f(x) = \Sigma_{n = -\infty}^{\infty}a_{n}e^{2\pi inx}$

¿Qué condición en los coeficientes $a_n$ garantizará que $f$ sea $k$ veces diferenciable?

No estoy seguro de por dónde empezar con esto, porque me parece que si diferencias cada término de la suma individualmente, la función es $k$ veces diferenciable para todo $k$. ¿Qué me estoy perdiendo aquí?

Answer 1

Comencemos con el caso $k = 0$. Para garantizar que $\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n e^{2\pi i n x}$ converja a una función continua, podemos intentar forzar que la serie converja uniformemente y luego el límite será continuo (como un límite uniforme de funciones continuas). Para forzar la convergencia uniforme, podemos intentar acotar la serie de forma uniforme y aplicar la prueba M de Weierstrass. Tenemos

$$ \sum_{n=-N}^{N} \left| a_n e^{2\pi i n x} \right| = \sum_{n = -N}^{N} |a_n| $$

y así si $\sum_{n = -\infty}^{\infty} |a_n| < \infty$ la serie convergerá uniformemente y será continua.

En cuanto a $k = 1$, podemos diferenciar la serie de forma formal y luego requerir que la serie formal de la derivada converja uniformemente. Por resultados estándar sobre series de funciones, implicará que el límite es de hecho diferenciable (incluso continuamente diferenciable). Así, si

$$ \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left| 2 \pi i n a_n e^{2\pi i n x} \right| = 2 \pi \sum_{n=\infty}^{\infty} |n a_n| < \infty $$

la serie original convergerá a una función continuamente diferenciable. Puedes continuar de esta manera para obtener condiciones para $k > 1$.