Secuencia Acotada y Límite Subsucesivo

Question

Dado $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ una sucesión acotada tal que $\lim_{n\to \infty} (a_{n+1}-a_n)=0$. Demuestra que cada punto en $[\liminf a_n, \limsup a_n]$ es límite subsequencial de la sucesión $a_n$.

Answer 1

Sea $\alpha\in[\liminf a_n,\limsup a_n]$. Deseas encontrar una subsucesión de $(a_n)$ que converge a $\alpha.

Creo que debería estar claro cómo proceder si se da un esquema para encontrar el primer término de la subsucesión requerida:

Sea $\epsilon_1>0$ y selecciona $N_1$ tan grande que $|a_{n+1}-a_n|<\epsilon_1$ siempre que $n\ge N_1$. Luego elige $k_1>N_1$ y $l_1>k_1$ de manera que $a_{k_1}$ esté dentro de $\epsilon_1$ del $\sup$ y $a_{l_1}$ esté dentro de $\epsilon_1$ del $\inf$. Entonces existe un índice $n_1$ entre $k_1$ y $l_1$ de tal manera que $a_{n_1}$ esté dentro de $\epsilon_1$ de $\alpha.

Informalmente, hay un índice $k_1$ donde $a_{k_1}$ está cerca del $\sup$, y un índice posterior $l_1$ donde $a_{k_1}$ está cerca del $\inf$. Como los términos sucesivos de $(a_n)$ están cerca uno del otro, en el recorrido desde el $\sup$ al $\inf$, $a_j$ pasa cerca de cualquier número entre el $\sup$ y el $\inf$ (en particular, cerca de $\alpha).