¿Se pueden representar DOS puntos diferentes en la recta numérica con el MISMO decimal infinito?

Question

Estoy visualizando este problema, y en la superficie parece que no hay manera en que dos valores individuales y únicos puedan tener la misma representación decimal infinita. ¿Alguna opinión al respecto? Es para mi curso de Historia de las Matemáticas. Gracias, peeps.

Answer 1

Número.

Prueba. Supongamos que $x = d_{1}d_{2}d_{3}\ldots$ y $y = d_{1}d_{2}d_{3}\ldots$ son dos números reales distintos con las mismas representaciones decimales. Entonces $0 = d_{1}d_{2}d_{3}\ldots - d_{1}d_{2}d_{3}\ldots = x - y$. Pero $x$ y $y$ son distintos, contradicción.

Answer 2

Para simplificar, consideremos solo números entre $0$ y $1$, para evitar la complejidad adicional de la parte entera de los números.

Para responder tu pregunta, vale la pena tratar de entender un poco mejor qué es una expansión decimal. Cuando decimos que un número $x \in (0,1)$ tiene una representación decimal $0.d_1 d_2 d_3...$, lo que queremos decir es que $x$ es igual a la serie infinita: $$ x = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{d_n}{10^n} = \frac{d_1}{10} + \frac{d_2}{100} + \frac{d_3}{1000} + \cdots $$ Entonces debemos preguntarnos de nuevo, ¿qué significa ser igual a una serie infinita? Bueno, la suma de una serie infinita está definida por el límite de sus sumas parciales; de hecho tenemos: $$ x = \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \sum \limits_{n=1}^N \frac{d_n}{10^n} $$ Por lo tanto, si $x$ y $y$ tuvieran la misma expansión decimal, entonces ambos serían límites de esta secuencia. Así que la pregunta "¿pueden dos números distintos tener la misma expansión decimal?" en realidad equivale a "¿puede una secuencia tener dos límites distintos?". La respuesta es ¡no!: ¡los límites son únicos! (Este es un hecho básico del análisis real.)