Escojamos un sistema de coordenadas cilíndricas $\rho,\theta,z$ a lo largo del eje del alambre. Asumiremos que el alambre es el conductor positivo en algún circuito eléctrico, y por lo tanto tiene una pequeña carga neta distinta de cero; ver por ejemplo la ilustración en esta otra respuesta.
Modelamos el campo eléctrico como
\begin{align} \vec E_\text{dentro} &= \frac1\sigma \vec J = E_\text{adentro}\hat z \\ \vec E_\text{fuera} &= E_\text{afuera} \frac R\rho \hat \rho \end{align}
donde $\vec J$ es la densidad de corriente, $\sigma$ es la conductividad del alambre, $R$ es el radio del alambre, y los valores de los campos $E_\text{adentro}$ y $E_\text{afuera}$ son las soluciones a problemas típicos de tarea de primer año.
En realidad, podemos ver que esta aproximación no está permitida estrictamente. Una carga superficial, como en el borde de nuestro alambre, introduce una discontinuidad en el campo normal a la superficie, en la dirección $\hat \rho$. Sin embargo, los componentes del campo paralelos a la superficie, en las direcciones $\hat\theta$ y $\hat z$, deben ser continuos. Entonces nuestro campo externo debe ser en realidad
$$ \vec E_\text{fuera} = E_\text{afuera}\frac R\rho \hat\rho + E_\text{adentro} \hat z $$
Nuestra suposición de que el campo externo al alambre es radial es equivalente a una suposición de que la conductividad $\sigma$ del alambre es grande.
El campo magnético a alguna distancia $\rho$ del eje es
$$ \vec B = \frac{\mu_0}{2\pi} \frac{I_\text{encerrada}}{\rho} \hat \theta $$
Fuera del alambre, $\rho > R$, la corriente encerrada es simplemente toda la corriente, $I = \pi R^2 J$. Dentro del alambre, solo contribuye la parte interna de la corriente, y el campo se convierte en
$$ \vec B_\text{dentro} = \frac{\mu_0}{2\pi}\frac{\pi\rho^2 J}{\rho}\hat\theta \propto \rho\hat\theta $$
Podemos encontrar la dirección del vector de Poynting $\vec S \propto \vec E \times \vec B$ en todas partes. Fuera del alambre hay un componente proporcional a
$$\vec S_\text{aguas abajo} \propto E_\text{afuera} \hat\rho \times \hat\theta = E_\text{afuera} \hat z$$
Es decir, el transporte de energía fuera del alambre es paralelo a la dirección de la corriente en el alambre de "suministro" del circuito. El alambre de retorno de la corriente tendrá una pequeña carga neta negativa, $\vec E{}_\text{fuera}^\text{retorno} \propto -\hat\rho$, y la energía fluirá en dirección opuesta a la corriente, también hacia la carga.
También hay un flujo de potencia radial proporcional a
$$ \vec S_\text{radial} \propto E_\text{adentro} |\vec B| (-\hat\rho) $$
que es responsable de calentar el alambre. Para encontrar cuánta energía se deposita por unidad de volumen, consideremos una capa cilíndrica con radio $r$, grosor $d\rho$, longitud $L$ y volumen $2\pi rL\,d\rho$. La potencia depositada en esta capa es la diferencia entre la potencia que entra desde afuera y la que sale hacia adentro:
\begin{align} P &= \int_\text{exterior} \vec S \cdot d\vec A - \int_\text{interior} \vec S \cdot d\vec A \\ &= S_\text{exterior} A_\text{exterior} - S_\text{interior} A_\text{interior} \end{align}
Fuera del alambre, tenemos que $S \propto B \propto r^{-1}$, y el área $A \propto r$, por lo que no se deposita energía en el espacio sin corriente fuera del alambre. Sin embargo, dentro del alambre tenemos
$$ \vec S \cdot d\vec A \propto BA \propto r^2 $$
La potencia en una capa con grosor $d\rho$ entonces es proporcional a
\begin{align} B_\text{exterior} A_\text{exterior} - B_\text{interior} A_\text{interior} & \propto (r + d\rho)^2 - r^2 \approx 2r\, d\rho \end{align}
Dado que la potencia por unidad de volumen y el volumen mismo son ambos proporcionales a $r\,d\rho$, tenemos una deposición de energía uniforme en el metal.
Te preguntas por qué el alambre está más caliente en el centro que en los bordes. Esto es un problema de transporte de calor: el calor solo puede salir del alambre a través de su superficie, por lo que la superficie debe enfriarse antes que el interior.
