El patrón observado está bien. Tenemos \begin{align*} S(n)&=4\cdot 9^{n-1}+4\left(n\frac{9^{n-1}-1}{9-1}-\sum_{k=0}^{n-2}k\,9^k\right)\\ &=\frac{1}{2}9^{n-1}\left(n+8\right)-\frac{1}{2}n-4\sum_{k=1}^{n-2}k\,9^{k}\tag{1} \end{align*} En (1) hemos recolectado términos y comenzamos el índice $k$ con $1$, ya que el término con $k=0$ es cero. Para obtener una forma cerrada de $\sum_{k=1}^{n-2}k\,9^{k}$ usando medios elementales, podemos usar el truco de escribir $k=\sum_{j=1}^k 1$ y luego reorganizar las sumatorias para obtener sumas geométricas que admiten una forma cerrada.
Obtenemos \begin{align*} \color{blue}{\sum_{k=1}^{n-2}k\,9^k}&=\sum_{k=1}^{n-2}\left(\sum_{j=1}^k1\right)9^k=\sum_{k=1}^{n-2}\sum_{j=1}^k9^k\\ &=\sum_{1\leq j\leq k\leq n-2}9^k=\sum_{j=1}^{n-2}\sum_{k=j}^{n-2}9^k\tag{2}\\ &=\sum_{j=1}^{n-2}\frac{9^{n-1}-9^j}{9-1}\tag{3}\\ &=\frac{1}{8}9^{n-1}\sum_{j=1}^{n-2}1-\frac{1}{8}\sum_{j=1}^{n-2}9^j\tag{4}\\ &\,\,\color{blue}{=\frac{1}{64}9^{n-1}(8n-17)+\frac{9}{64}}\tag{5}\\ \end{align*}
Comentario:
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En (2) escribimos la región del índice convenientemente para ver mejor cómo reorganizar las sumatorias.
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En (3) aplicamos la fórmula de sumación geométrica a la suma interna.
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En (4) dividimos la suma y sacamos términos en común.
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En (5) aplicamos nuevamente la fórmula de sumación geométrica.
Combinando (1) y (5) obtenemos para $n\geq 1$: \begin{align*} \color{blue}{S(n)}&=\frac{1}{2}9^{n-1}\left(n+8\right)-\frac{1}{2}n-\frac{1}{16}9^{n-1}(8n-17)-\frac{9}{16}\\ &\,\,\color{blue}{=\frac{1}{16}\left(9^{n+1}-8n-9\right)} \end{align*}
