En la ecuación de $m^3-m^2+1 = n^2$

Question

(i) ¿Cómo puedo encontrar todos los enteros positivos $m$ tal que $m\equiv 4 \pmod 7$ y $m^3-m^2+1$ son un cuadrado perfecto?

(ii) existe un método para resolver esta ecuación sobre los números enteros positivos: $$m^3-m^2+1 = n^2.$ $

Answer 1

Solución i). Ponemos a $m=7\lambda+4$, para un entero $\lambda\geq 0$ en su ecuación. Se obtiene, así, por la sustitución $$343\lambda^3+539\lambda^2+280\lambda+49=n^2.$$ Desde $7|n^2$$49|n^2$, por lo tanto desde $49$ no divide $280$ existe un entero $\mu\geq 0$ tal que $\lambda=7\mu$, y obtenemos $$2401\mu^3+539\mu^2+40\mu+1=l^2,$$ para $l^2=(\frac{n}{7})^2$.

Si $\mu=0$ obtenemos la solución $(m,n)=(4,7)$, correspondiente a $l=1$.

Ahora vamos a $\mu>0$, ya que si $\mu$ es incluso (o impar, también contiene la siguiente instrucción) $2|2401\mu^3+539\mu^2+40\mu$ $2$ divide $1-l^2$, lo $\mu-2|2401\mu^3+539\mu^2+40\mu+1-l^2$. Cuando dividimos obtenemos $$2401\mu^3+539\mu^2+40\mu+1-l^2=(\mu-2)\cdot (2401\mu^2+5341\mu+10722),$$ con el remanente $21444+1-l^2$ de fuga, que no se entero de soluciones. Ni el cociente de la ecuación de $2401\mu^2+5341\mu+10722=0$ (calcular el discriminante para probar). Por lo tanto la única solución es calculada como $(m,n)=(4,7)$.

Espero que no haya errores en mis cálculos. Otro intento de solución que hice fue estudiar la ecuación como $$m^2(m-1)=(n-1)(n+1).$$

Mi solución a ii). Estudiamos el caso de $n=1$ y obtener las soluciones de $(m,n)=(0,1),(1,1)$. Por lo tanto asumimos que los números enteros $m,n\geq 1$. Y utilizamos el método anterior para el estudio (y estamos seguros de que también para excluir más soluciones) en los casos en $m\equiv 0,1,2,3,5,6\mod 7$. Para el caso de $m=7k$ para un entero $k$, se obtiene por sustitución de $(7k)^3-(7k)^2+1-n^2=0$, con el resto (cuando dividimos por $k-2$) $2548+1-n^2=0$ sin entero de soluciones y negativo discriminante del polinomio en el cociente $343k^2+637k+1274$. Mis cálculos (correspondiente al polinomio después de nuestro sustitución, resto sin número entero de soluciones, el polinomio en el cociente que tiene discriminante negativo) para los casos de $m\equiv 1,2,3,5,6\mod 7$

$343k^3+98k^2+7k+(1-n^2)=0$, $3150+1-n^2=0$ y $343k^2+784k+1575$;

$343k^3+245k^2+56k+4+(1-n^2)=0$, $3840+1-n^2=0$ y $343k^2+931k+1918$;

$343k^3+392k^2+147k+(1-n^2)=0$, $4606+1-n^2=0$ y $343k^2+1078k+2303$;

$343k^3+686k^2+455k+100+(1-n^2)=0$, $6498+1-n^2=0$ y $343k^2+1372k+3199$;

$343k^3+833k^2+672k+180+(1-n^2)=0$, $7600+1-n^2=0$ y $343k^2+1519k+3710$.

(He editado porque mis cálculos estaban equivocados y para dar una solución completa. Gracias.)