Investigar si el polinomio $q(x) = 2x^5 - 78x^3 + 39x + 21$ es irreducible en $\mathbb{F}_{13}[x]$.

Question

Investiga si el polinomio $q(x) = 2x^5 - 78x^3 + 39x + 21$ es irreducible en $\mathbb{F}_{13}[x]$.

Solución: En $\mathbb{F}_{13}[x]$, $q(x) = 2x^5 + 8 = 2(x^5 + 4)$. Este polinomio tiene una raíz en $\mathbb{F}_{13}$: $p(a) = 0 \in \mathbb{F}_{13}$ si y solo si $a^5 = -4 \in \mathbb{F}_{13}$. Dado que $\mathbb{F}_{13}^*$ es cíclico de orden $13 - 1 = 12$, y $\text{gcd}(12, 5) = 1$, cada congruencia de la forma $x^5 \equiv b \mod 13$ tiene una solución.

Tengo una antigua pregunta de examen de matemáticas con la solución incluida, pero hay ciertos pasos de la solución que no entiendo.

Preguntas:

• Dado que el polinomio tiene un punto cero, significa que el polinomio es reducible, ya que el polinomio puede escribirse como un producto de factores, aunque ¿cómo sé que uno de los factores debe ser una unidad?
• ¿Por qué miramos el orden de $\mathbb{F}_{13}^*$ en lugar de $\mathbb{F}_{13}$ y cómo saber el orden de $\mathbb{F}_{13}^*$ y que $\text{gcd}(12,5)=1$ lleva a la conclusión de que $x^5 \equiv b \mod 13$ debe tener una solución?

Algunas definiciones:

• Sea R un dominio integral. Un elemento $p \in R$ se llama irreducible si $p$ no es el elemento cero ni una unidad, y si se cumple lo siguiente: Si $p = ab$ con $a, b \in R$, entonces o bien $a$ es una unidad o $b$ es una unidad.
• El conjunto $\mathbb{F}_{13}^*$ consiste en las clases de residuo que son coprimas con $13$.

¡Gracias de antemano!

Answer 1

La afirmación es que se descompone en dos polinomios más pequeños ninguno de los cuales es una unidad, ya que un factor $x - a$ no es una unidad en $\mathbf{F}_{13}[x]$. Para responder a tu segunda pregunta, piensa en lo que sucede cuando tomamos potencias $k$-ésimas de elementos en $\mathbf{F}_{13}^*$ con $\text{gcd}(k, 12) = 1$. Pista: ¿cuándo tenemos que $\left(a^k\right)^n = 1$ (toma quizás algún generador de $\mathbf{F}_{13}^*$)?

Answer 2

• Es un resultado clásico que para cualquier campo $K$ y cualquier $P\in K[X]$, tenemos $$P(a)=0\iff X-a\mid P.$$ En particular, un polinomio irreducible en $K$ de grado $\geqslant 2$ no tiene raíces en $K$.
• Estamos viendo $\mathbf{F}_{13}^*$ porque estamos interesados en la ley multiplicativa módulo $13$. Para la otra parte de la pregunta, sabes que $\mathbf{F}_{13}^*$ es cíclico, siendo un generador $2$ aquí. Dado que $12\wedge 5=1$ existe $u,v\in\mathbf{Z}$ tal que $12u+5v=1$ entonces $$b\equiv b^{12u+5v}\equiv (b^u)^{12}(b^v)^5\equiv (b^v)^5\pmod{13}$$ por el pequeño teorema de Fermat, por lo que la ecuación $x^5\equiv b\pmod{13}$ tiene una solución.

Answer 3

$q(x) = 2x^5 - 78x^3 + 39x + 21$ es equivalente a $f(x)=2x^5+8=2(x^5+4)$ en $\Bbb F_{13}[x]$ y si $x^5=-4=9$ módulo $13$ entonces $x=3$ porque $3^3=1$ y $3^2=9$ módulo $13$. Entonces $q(x)$ no es irreducible en $\Bbb F_{13}[x]$. Por otro lado $$\dfrac{x^5+4}{x-3}=x^4+3x^3+9x^2+x+3+\dfrac{247}{x-3}$$ así, porque $247\equiv0\pmod{13}$, el cociente en $\Bbb F_{13}[x]$ es $$h(x)=x^4+3x^3+9x^2+x+3$$ Podemos verificar que $h(x)\ne0$ para todos los elementos de $\Bbb F_{13}$ así que $h(x)$ no tiene factor lineal. No considero la posibilidad de dos factores cuadráticos porque la pregunta era sobre la irreducibilidad de $q(x)$ y la respuesta es que no, $q(x)$ es reducible y tenemos $$q(x)=2(x-3)(x^4+3x^3+9x^2+x+3)\in\Bbb F_{13}[x]$$