El conjunto vacío $\{\}$ es la única base del espacio vectorial cero $\{0\}$

Question

Pregunta

Supongamos que queremos encontrar una base para el espacio vectorial $\{0\}$.

Sé que la respuesta es que la única base es el conjunto vacío.

¿Esta respuesta es en sí misma una definición o es un resultado de las definiciones de conjuntos linealmente independientes/dependientes y conjuntos generadores? Si es un resultado, ¿te importaría mencionar las definiciones de los elementos en negrita a partir de los cuales se puede deducir esta respuesta?

Enlaces útiles

Encontré los enlaces Enlace 1, Enlace 2, Enlace 3, Enlace 4,Enlace 5, y Enlace 6 útiles para responder a esta pregunta. Requiere algo de conocimientos básicos de lógica matemática. Puedes aprenderlo dedicando unas horas a esta página de Wikipedia.

Answer 1

La definición estándar de base en espacios vectoriales es:

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$\mathcal B$ es una base de un espacio $X$ si:

• $\mathcal B$ es linealmente independiente.
• El espacio generado por $\mathcal B$ es $X$.

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Puedes demostrar fácilmente que ambas afirmaciones son ciertas cuando $X=\{0\}$ y $\mathcal B= \{\}$. De nuevo, debes mirar las definiciones:

• ¿Es $\{\}$ linealmente independiente? Bueno, un conjunto $A$ es linealmente independiente si, para cada subconjunto finito no vacío $\{a_1,a_2\dots, a_n\}$, tenemos que si $$\alpha_1a_1 + \dots + \alpha_n a_n=0,$$ entonces $\alpha_i=0$ para todo $i$. Esta condición se cumple automáticamente en el caso de un conjunto vacío (todo se deduce de una afirmación falsa). Esta parte puede ser difícil de entender, pero dado que no hay colecciones finitas no vacías de vectores de $\{\}$, cualquier afirmación que hagas sobre colecciones finitas no vacías de vectores de $\{\}$ debe ser verdadera (porque cualquier afirmación de este tipo incluye un supuesto de que existe una colección finita no vacía. No existe, lo que significa que cualquier afirmación de este tipo es del tipo $F\to A$ y es automáticamente verdadera). Esto significa que $\{\}$ es linealmente independiente.

• ¿Es el espacio generado por $\{\}$ igual a $\{0\}$? Bueno, el espacio generado por un conjunto $A\subseteq X$ se define como el subespacio vectorial más pequeño de $X$ que contiene a $A$. Dado que todos los subespacios vectoriales contienen a $\{\}$, es evidente que $\{0\}$, que es el subespacio vectorial más pequeño de todos, debe ser el espacio generado por $\{\}$.

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Alternativamente, el espacio generado por $A$ es la intersección de todos los subespacios vectoriales que contienen a $A$. Nuevamente, debería ser obvio que esto implica que el espacio generado por $\{\}$ es $\{0\}$.

Answer 2

Definición 1. El span de un conjunto de vectores $\{v_1,\ldots,v_m\}$ es el conjunto de todas las combinaciones lineales de $\{v_1,\ldots,v_m\}$. En otras palabras, $$\text{span}\{v_1,\ldots,v_m\}=\{a_1v_1+\cdots+a_mv_m,\, a_1,\ldots,a_m\in\mathbb{F}\}.$$

Esta definición deja fuera el caso de $\{\}$: ¡no hay vector para empezar! Así que tenemos que ocuparnos de eso. ¿Pero cómo definimos el span de $\{\}$? ¿Lo definimos como $\{\}$? ¿O algún espacio arbitrario? Aquí está la razón para definir $\text{span}\{\}$ como $\{0\}$:

Proposición. Sea $V$ un espacio vectorial. Sea $S$ un subconjunto finito de $V$ que abarca $V$. Se puede obtener una base de $V$ eliminando elementos de $S$.

Solo así podemos hacer que esta proposición funcione para $V=\{0\}$.

Para resumir, cuando nuestra definición de span es como en Definición 1, queremos la siguiente definición adicional

1. El conjunto vacío es independiente;
2. El span del conjunto vacío es el espacio cero $\{0\}$

para que la proposición anterior sea verdadera para $V=\{0\} Como consecuencia de nuestra definición, el conjunto vacío es una base para el espacio vectorial cero.

(Notas: Mi definición de independencia lineal es:

Un conjunto de vectores $\{v_1,\ldots,v_m\}$ se dice que es linealmente independiente si la ecuación $a_1v_1+\cdots+a_mv_m=0$ siempre implica $a_1=\cdots=a_m=0$. De lo contrario, se dice que es linealmente dependiente.

Y yo no defino la "suma vacía", por lo que el caso $\{\}$ queda indeterminado. )

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Definición 2. El span de un conjunto de vectores $\{v_1,\ldots,v_m\}$ es el espacio vectorial más pequeño que contiene a $v_1,\ldots,v_m$.

Bajo esta definición, de hecho no necesitamos definir adicionalmente el span para $\{\}$, como señaló @5xum.

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Definición 1 es más común, ya que los elementos del conjunto $\text{span}\{v_1,\ldots,v_m\}$ se describen explícitamente. La desventaja de la Definición 2 es que no sabes cómo lucen los elementos en el span, y necesitas probar que el span de $\{v_1,\ldots,v_m\}$ realmente consiste en combinaciones lineales de $v_1,\ldots,v_m$.

Answer 3

Una base tiene varias definiciones equivalentes. Una de ellas es:

1. Una base de un espacio vectorial es un conjunto generador minimal

Por lo tanto, si consideramos $V = \{0\}$, el único subconjunto no vacío de este espacio vectorial es $B = \{0\}$. Este conjunto $B$ es un conjunto linealmente dependiente y por lo tanto no puede ser una base. Hacemos la nota aquí de que $B$ es un conjunto generador de $V$. Sabemos por la existencia de una base de un espacio vectorial que $V$ también debe tener una base. Entonces, si existiera una base, debería ser un subconjunto de $B$. Dado que al quitar un elemento linealmente dependiente de un conjunto generador no cambia el espacio generado por ese conjunto, $\phi$ es un conjunto generador.

Ahora, la definición de un conjunto linealmente dependiente en un lenguaje burdo es: En un espacio vectorial $V$, un subconjunto $A$ de $V$ se dice que es linealmente dependiente si existe un elemento que se puede escribir como una combinación lineal finita del resto de los elementos.

Entonces, consideremos el conjunto $\phi$; no existe ningún elemento en él que se pueda escribir como una combinación lineal finita de los otros elementos, por lo tanto no es un conjunto linealmente dependiente y por lo tanto es linealmente independiente.

Por lo tanto, vemos que $\phi$ es linealmente independiente y genera $V$ y por lo tanto es una base.

Answer 4

Para responder a la pregunta de por qué $\text{Span}\{\}=\{0\}$ es cierto, consideré el siguiente argumento para mí mismo.

Creo que todo se reduce a la operación de adición.

La adición es un mapa definido de la siguiente manera

$$ \begin{align} (\cdot+\cdot): & V \times V \to V \\ & (u,v) \mapsto (u+v) \end{align}$$

con las propiedades conmutativas y asociativas

$$ \begin{align} (u+v) &= (v+u) \\ ((u+v)+w) &= (u+(v+w)) \end{align} $$

por lo tanto, según esta definición, siempre que estemos hablando de adición debemos proporcionar dos entradas para obtener una salida.

Desde un punto de vista de programación, es útil tener salidas en casos en los que tenemos una o ninguna entrada (ver los detalles de la función Plus en el lenguaje Wolfram). También resulta ser útil en demostraciones como las que utilizan la inducción. Entonces, ¿cuáles son las definiciones más útiles para hacer en tales casos? La experiencia muestra que estas son

$$ \begin{align} (u+\text{null}) &= u\\ (\text{null}+u) &= u \\ (\text{null}+\text{null}) &= 0 \end{align} \tag{1}$$

donde puedes pensar en nulo como que no se proporciona ningún argumento!

Ahora la siguiente definición se puede interpretar fácilmente en los casos especiales cuando tenemos un conjunto con un elemento o sin elementos.

Combinación Lineal y Espacio Generado. Una combinación lineal de un conjunto \(A=\{v_1,v_2,...,v_m\} \subseteq V\) es un vector \(v\) definido por \(v=\sum_{j=1}^{m}a_jv_j\). El conjunto de todas las combinaciones lineales de \(A\) se llama el espacio generado por \(A\) denotado por \(\text{Span}A\).

Ahora, si hacemos la convención de que \(m=0\) significa \(A=\{\}\) y cuando \(m=1\) entonces \(A=\{v_1\}\), según \(1\), podemos interpretar la definición de la siguiente manera

$$ v=\sum_{j=1}^{m}a_jv_j:=s_m, \qquad s_i = \begin{cases} 0, & i=0 \\ (a_1v_1+\text{null}), & i=1 \\ (a_1v_1+a_2v_2), & i=2 \\ (s_{i-1}+a_{i}v_{i}), & \text{otherwise} \\ \end{cases} , \qquad 0 \le i \le m $$

Entonces, podemos ver que \(\text{Span}\{\}=\{0\}\). ¡Ten en cuenta que este es un resultado de nuestra propia convención para la operación de adición y la definición del espacio generado. Creo que el argumento de verdad vacua no tiene ventaja sobre este! ¡Sin embargo, sigue repitiéndose en muchos otros ejemplos! ¡Así que es bueno aprenderlo de una vez por todas!