Campo ordenado arquimediano y no expresable en lógica de primer orden

Question

En la teoría de modelos de Chang y Keisler, ellos definen que un campo ordenado $(F,+_{F},\cdot,0_{F},1_{F},\le)$ es arquimediano si para cualquier par de elementos positivos $a$, $b$ en $F$ existe un $n$ tal que $b\le na$.

(Aquí la notación $na$ es una abreviatura para el término $a+_{F}\ldots+_{F}a$, $n$ veces.)

Y ellos dicen que esta definición no es expresable en lógica de primer orden. Mi pregunta es por qué es imposible expresar la definición en lógica de primer orden. En $\mathrm{ZF}$, podemos definir de manera recursiva una función $f$ tal que $\mathrm{dom}(f)=\omega$, $f(0)=a$ y $f(n+1)=f(n)+_{F}a$. Entonces la definición puede ser formalizada en $\mathrm{ZF}$. No sé qué estoy pasando por alto...

Answer 1

Como dice Alex Kruckman, el significado pretendido es que esta definición no puede ser expresada en el lenguaje de primer orden de campos ordenados. El problema es que el lenguaje de primer orden de campos ordenados no permite, obviamente, cuantificar sobre todos los enteros positivos $n$; puedes hablar sobre

$$na = \underbrace{a + \dots + a}_{n \text{ veces}}$$

para cualquier $n$ fijo, pero el lenguaje de primer orden de campos ordenados $F$ solo te permite cuantificar sobre $F$, y no te proporciona, obviamente, una forma de hablar sobre $\mathbb{N} \subset F$.

Digo "obviamente" porque a priori podría haber un truco ingenioso que lo haga, pero de hecho no puede haber tal truco. Esto se debe a que la clase de modelos de una teoría de primer orden debe estar cerrada bajo ultraproductos, pero es posible que el ultraproducto de campos arquimedianos no sea arquimediano. Por ejemplo, el ultrapar $\mathbb{R}^{\infty}/U$ de infinitas copias de $\mathbb{R}$ (los reales no estándar) es no arquimediano: podemos tomar $a = (1, 1, 1, \dots)$ y $b = (1, 2, 3, \dots)$ y luego no hay ningún entero positivo $n$ tal que $b \le na$ (en otras palabras, $b$ es infinitamente grande en comparación con $a$).

Comentario adicional ignorado: Puedes extender la teoría de primer orden de campos ordenados a una teoría de dos sorteos consistente en un sorteo para los números naturales $\mathbb{N}$ y otro sorteo para el campo $F$, junto con, digamos, una incrustación $\mathbb{N} \hookrightarrow F$; esto te permitiría hablar sobre la operación $(n, a) \mapsto na$ donde $n \in \mathbb{N}$ y $a \in F$, y cuantificar sobre $\mathbb{N}$. Ahora el problema es que es imposible escribir axiomas que garanticen que el primer sorteo es exactamente $\mathbb{N}$ y no algún modelo no estándar más grande de los números naturales; por ejemplo, cualesquiera que sean los axiomas que escribamos, podemos tomar un ultrapar de la pareja $(\mathbb{N}, \mathbb{R})$ y tendremos números naturales no estándar infinitamente grandes, por lo que el ultrapar $\mathbb{R}^{\infty}/U$ seguirá siendo "arquimediano" pero con respecto a los números naturales no estándar $\mathbb{N}^{\infty}/U$, no a los estándar. Así que esto tampoco funciona.