Considera un árbol binomial recombinate con una probabilidad de subida = $p$ y una probabilidad de bajada = $(1-p)$. Sea $n$ el número de pasos de tiempo en el árbol binomial (el eje $x$ es el tiempo, y cada columna de nodos corresponde a "un paso de tiempo". Además, cada columna de nodos está espaciada de manera uniforme a lo largo del eje $x).
Un árbol binomial recombinate está en esta imagen. "Recombinate" simplemente significa que terminamos en el mismo lugar dado (i) movimiento hacia arriba --> movimiento hacia abajo, (ii) movimiento hacia abajo --> movimiento hacia arriba.
El conjunto $\{0,1,...,n\}$ corresponde a la ubicación de cada nodo(s) en el eje $x$. Por lo tanto, en la imagen anterior, "1" correspondería a los nodos $S_{\Delta t}$, y "2" correspondería a los nodos $S_{2\Delta t}$. Considera los conjuntos de nodos que corresponden a las siguientes ubicaciones en el eje $x:
(i) $m \in \{1,...,n-2\}$,
(ii) $m+1$ y
(iii) $n$.
Deja que el nodo $j$ en $m$ sea el nodo que ha tenido $j$ movimientos hacia arriba en todos los caminos de muestra que conducen a él. Deja que el nodo $i$ en $n$ se defina de manera similar.
Quiero encontrar la probabilidad de que el camino de muestra pase por el nodo $j$ en $m$, el nodo $j$ en $m+1$, y luego por el nodo $i$ en $n$. Denomina esto $P\{(j,m)\cap(j,m+1)\cap(i,n)\}$.
Ya sabemos que $P\{(i,n)\cap(j,m)\} = P\{(j,m)\}P\{(i,n)|(j,m)\} = \frac{m!}{j!(m-j)!}p^j(1-p)^{m-j}*\frac{(n-m)!}{(i-j)!(n-m-i+j)!}p^{i-j}(1-p)^{n-m-i+j} = \frac{m!(n-m)!}{j!(m-j)!(i-j)!(n-m-i+j)!}p^i(1-p)^{n-i}.
Estoy buscando una manera de llegar a $P\{(j,m)\cap(j,m+1)\cap(i,n)\}$.
Ya sé que la respuesta es obviamente $P\{(j,m)\cap(j,m+1)\cap(i,n)\} = P\{(i,n)|(j,m+1)\}P\{(j,m)\}*(1-p)$ por observación... Pero me gustaría una forma "correcta" de derivarla.
