Una matriz como un punto en $\mathbb{R}^{nm}$

Question

Acabo de tener una pregunta muy rápida que hacer. Estaba leyendo un libro sobre álgebra lineal y he estado tratando de entender exactamente qué representa una matriz. En un momento, el libro dijo

"En un sentido más formal, una matriz $m × n$ $A$ puede considerarse como un punto en $\mathbb R^{nm}$, con la condición de que las entradas estén ordenadas en filas y columnas en lugar de una sola fila o una sola columna."

No entendí realmente lo que esto significaba. ¿Qué es un punto en $\mathbb R^{nm}$ desde una perspectiva intuitiva/no tan abstracta? ¿Significa literalmente el espacio vectorial $\mathbb R^{n × m}$ por ejemplo, una matriz $2 × 3$ representa un punto en $\mathbb R^{6}$ excepto que en lugar del 6-tupla escrita con 6 entradas en una fila o 6 entradas en una columna, están escritas tanto en filas como en columnas?

Answer 1

Usando tu ejemplo, una matriz: $$A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\\ a_{31}&a_{32}\\ \end{bmatrix}$$ es un elemento de un espacio vectorial que, en la base estándar, se representa como: $$A= a_{11} \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&0\\ 0&0\\ \end{bmatrix}+ a_{12} \begin{bmatrix} 0&1\\ 0&0\\ 0&0\\ \end{bmatrix}+ a_{21} \begin{bmatrix} 0&0\\ 1&0\\ 0&0\\ \end{bmatrix}+ a_{22} \begin{bmatrix} 0&0\\ 0&1\\ 0&0\\ \end{bmatrix}+ a_{31} \begin{bmatrix} 0&0\\ 0&0\\ 1&0\\ \end{bmatrix}+ a_{32} \begin{bmatrix} 0&0\\ 0&0\\ 0&1\\ \end{bmatrix}$$

por lo que puede ser representado por un vector $[a_{11},a_{12},a_{21},a_{22},a_{31},a_{32}]$ en este espacio que es isomorfo a $\mathbb{R}^{2\times 3}$