¿Alguien sabe algo sobre la siguiente operación "superderivada"? Acabo de inventarla así que no sé dónde buscar, pero parece tener propiedades muy significativas. ¿Una respuesta a esta pregunta podría ser una referencia y explicación, o algún nombre o idea similar conocida, o simplemente cualquier propiedad interesante o corolarios que puedas ver a partir de la definición aquí? ¿Quizás hay una mejor definición que la que estoy utilizando? ¿Cuál es tu intuición sobre lo que está haciendo el operador (es decir, sigue siendo de alguna manera un gradiente)? ¿Hay alguna forma de separar la parte logarítmica, o eliminarla? ¿O es esa una característica esencial?
Definición: Estoy usando la palabra "superderivada" pero ese es un nombre inventado. Define la "superderivada", operador $S_x^{\alpha}$, sobre $\alpha$, utilizando la ecuación límite de tipo derivada en el operador derivada fraccional $D_x^\alpha$ $$ S_x^{\alpha} = \lim_{h \to 0} \frac{D^{\alpha+h}_x-D^{\alpha}_x}{h} $$ entonces para una función $$ S_x^{\alpha} f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{D^{\alpha+h}_xf(x)-D^{\alpha}_x f(x)}{h} $$ por ejemplo, la derivada fraccional de una función potencia es $$ D_x^\alpha x^k = \frac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(k-\alpha+1)}x^{k-\alpha} $$ y aparentemente $$ S_x^{\alpha} x^k = \frac{\Gamma (k+1) x^{k-\alpha} (\psi ^{(0)}(-\alpha+k+1) - \log (x))}{\Gamma (-\alpha+k+1)} = (\psi ^{(0)}(-\alpha+k+1) - \log (x)) D_x^\alpha x^k $$ un buen ejemplo de esto, la superderivada de $x$ en $\alpha=1$ es $-\gamma - \log(x)$, que aparece comúnmente. Me pregunto si esto podría ser usado para describir las expansiones en series de ciertas funciones que tienen términos logarítmicos o de $\gamma$, por ejemplo, las funciones BesselK, o la función Gamma.
Posible relación con las funciones de Bessel: Por ejemplo, una función fundamental con este tipo de serie, (la transformada inversa de Mellin de $\Gamma(s)^2$), es $2 K_0(2 \sqrt{x})$ con $$ 2 K_0(2 \sqrt{x}) = (-\log (x)-2 \gamma )+x (-\log (x)-2 \gamma +2)+\frac{1}{4} x^2 (-\log (x)-2 \gamma +3)+\\ +\frac{1}{108} x^3 (-3 \log (x)-6 \gamma +11)+\frac{x^4 (-6 \log (x)-12 \gamma +25)}{3456}+O\left(x^5\right) $$ finalmente, tomando la superderivada de polinomios y emparejando coeficientes encontramos $$ S_x^1[2 \sqrt{x}I_1(2\sqrt{x})] + I_0(2 \sqrt{x})\log(x) = 2K_0(2 \sqrt{x}) $$ que también potencialmente puede ser escrito en términos de operadores lineales como $$ [2 S_x x D_x + \log(x)]I_0(2 \sqrt{x}) = 2K_0(2 \sqrt{x}) $$ así mismo $$ [2 S_x x D_x - \log(x)]J_0(2 \sqrt{x}) = \pi Y_0(2 \sqrt{x}) $$ Me gusta esto porque es similar a un sistema de eigenvectores, pero las eigenfunciones se intercambian.
Función Gamma: Potencialmente podemos definir derivadas de orden superior, por ejemplo $$ (S_x^{\alpha})^2 = \lim_{h \to 0} \frac{D^{\alpha+h}_x-2 D^{\alpha}_x + D^{\alpha-h}_x}{h^2} $$ y $$ (S_x^{\alpha})^3 = \lim_{h \to 0} \frac{D^{\alpha+3h}_x-3 D^{\alpha+2h}_x + 3 D^{\alpha+h}_x - D^{\alpha}_x}{h^3} $$
esto sería necesario si hubiera alguna esperanza de explicar la serie $$ \Gamma(x) = \frac{1}{x}-\gamma +\frac{1}{12} \left(6 \gamma ^2+\pi ^2\right) x+\frac{1}{6} x^2 \left(-\gamma ^3-\frac{\gamma \pi ^2}{2}+\psi ^{(2)}(1)\right)+ \\+\frac{1}{24} x^3 \left(\gamma ^4+\gamma ^2 \pi ^2+\frac{3 \pi ^4}{20}-4 \gamma \psi ^{(2)}(1)\right)+O\left(x^4\right) $$ usando la "superderivada". Esto parece ser $$ \Gamma(x) = [(S^1_x)^0 x]_{x=1} x^{-1} + [(S^1_x)^1 x]_{x=1} x + \frac{1}{2}[(S^1_x)^2 x]_{x=1} x^2 + \frac{1}{6} [(S^1_x)^3 x]_{x=1} x^3 + \cdots $$ así que uno podría postular $$ \Gamma(x) = \frac{1}{x}\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}[(S^1_x)^k x]_{x=1} x^{k} $$ lo cual me parece bastante hermoso.
Apéndice: Usé la siguiente definición para la derivada fraccional: $$ D_x^\alpha f(x) = \frac{1}{\Gamma(-\alpha)}\int_0^x (x-t)^{-\alpha-1} f(t) \; dt $$ implementado por ejemplo con el código de Wolfram Mathematica encontrado aquí
FractionalD[\[Alpha]_, f_, x_, opts___] :=
Integrate[(x - t)^(-\[Alpha] - 1) (f /. x -> t), {t, 0, x},
opts, GenerateConditions -> False]/Gamma[-\[Alpha]]
FractionalD[\[Alpha]_?Positive, f_, x_, opts___] := Module[
{m = Ceiling[\[Alpha]]},
If[\[Alpha] \[Element] Integers,
D[f, {x, \[Alpha]}],
D[FractionalD[-(m - \[Alpha]), f, x, opts], {x, m}]
]
]Estoy interesado en escuchar más sobre otras definiciones para los operadores fraccionales, y si son más adecuadas.
