El límite $\lim_{n\to \infty}{na^n}=0$

Question

Sea $a\in [0,1)$. Quiero demostrar que $$\lim_{n\to \infty}{na^n}=0$$

Mi intento : $$na^n={n\over e^{-(\log{a})n}}$$ y el límite es $${+\infty\over +\infty}$$ Por lo tanto, por la regla de l'Hopital tenemos que $$\lim_{n\to \infty}{1\over -(\log{a})e^{-(\log{a})n}}={1\over -\infty}=0$$

¿Hay alguna otra forma de calcular este límite? ¡Gracias!

Answer 1

(Similar) Por la regla de L'Hopital $$\lim_{n \to +\infty}na^n=\lim_{n \to +\infty}\frac{n}{\frac{1}{a^n}}\overset{\frac{+\infty}{+\infty}}=\lim_{n \to +\infty}\frac{1}{{-\frac{1}{a^n}\ln(a)}}=-\frac{1}{\ln(a)}\lim_{n \to +\infty} a^n =0$$

Answer 2

Pista:

Otro enfoque sería observar la proporción del término $n+1$ al término $n$.

Esto da $\frac{(n+1)a^{n+1}}{na^n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)a$

Dado que $a<1$, este factor se vuelve estrictamente menor que $1$ y luego se mantiene alejado de $1$. Por lo tanto, eventualmente los términos de la secuencia comienzan a disminuir por estos factores.

Answer 3

Primero, $a$ debe estar en $(0,1)$, de lo contrario, la Regla de L'Hopital no funcionará hasta el siguiente paso:

$\lim \limits_{n \to \infty} \frac{1}{-(\ln{a})e^{-n\ln{a}}}$

Segundo, podemos usar el Teorema del Sándwich para probar este límite.

Prueba:

Sea $a = \frac{1}{1+b}$, donde $b>0$

$\because na^n > 0$

$na^n=\frac{n}{(1+b)^n}=\frac{n}{1+nb+\frac{n(n-1)}{2}b^2+...}$

$<\frac{n}{\frac{n(n-1)}{2}b^2}=\frac{2}{n-1}$

$\because \lim \limits_{n \to \infty} 0 = 0$

$\lim \limits_{n \to \infty} \frac{2}{n-1} = 0$

Por el Teorema del Sándwich, $\lim \limits_{n \to \infty} na^n =0$

Answer 4

Pista Expande $e^{-(\log a)n}$ y divide por $n$...