Anillo de secciones y normalización

Question

Sea $D$ un divisor libre de punto base en una variedad proyectiva normal $X$, y sea $Y$ la imagen del morfismo $f_{D}:X\rightarrow Y$ inducido por $D$. Supongamos que $f_D$ es birracional.

Ahora, sea $X(D)=Proj\left(\bigoplus_{k\geq 0}H^{0}(X,kD)\right)$. ¿Es $X(D)$ la normalización de $Y?

Answer 1

La afirmación modificada es verdadera. Para un campo $k$, para cada esquema propio $k$-scheme $X$, para cada $k$-morfismo $$f:X\to \mathbb{P}^n,$$ las curvas irreducibles en $X$ que son contraídas por $f$ son precisamente las curvas irreducibles que tienen grado $0$ con respecto al haz invertible $\mathcal{L}:=f^*\mathcal{O}(1)$. Estas son también las curvas que son contraídas por el morfismo natural $$g:X \to X(\mathcal{L}),$$ donde $X(\mathcal{L})$ es $\text{Proj} \bigoplus_{d\geq 0} H^0(X,\mathcal{L}^{\otimes d})$. Así, el $k$-morfismo natural $$h:X(\mathcal{L})\to f(X)$$ es un morfismo finito. Si $X$ es normal, entonces también $X(\mathcal{L})$ es normal. Si además $h$ es birracional, por ejemplo, esto se cumple si $f$ es birracional, entonces $h$ es la normalización de la imagen de $f$.