Supongamos que $\Omega$ es un dominio suave y acotado en $\mathbb{R}^3$. Consideremos el potencial de Newton \begin{equation} T [\phi](x) = \int_{\Omega} \frac{1}{|x-y|} \phi(y)dy. \end{equation} Es bien sabido que $T$ es un operador lineal acotado de $L^2(\Omega)$ a $H^2(\Omega)$. Por lo tanto, es un operador compacto autoadjunto definido en $L^2(\Omega)$. Supongamos que tiene la siguiente descomposición espectral: $$T \phi = \sum^\infty_{j = 1}\lambda_j (\phi,e_j) e_j,$$ donde $(\lambda_j,\phi_j)$ es el par eigenvalor contando multiplicidad. Y podemos ver que $ker T = \{0\}$ a partir de la siguiente observación: $\Delta T[\phi] = C\phi$ en $\Omega$ para alguna constante positiva $C$.
Diremos que un vector $q$ en $L^2(\Omega)$ es un vector cuasinilpotente si $$ \lim_{n \to \infty}||T^n q||^{\frac{1}{n}} = 0. $$ Entonces, a partir de la descomposición espectral anterior y el hecho de que $\lambda_j > 0$, podemos afirmar que todos los vectores cuasinilpotentes de $T$ se anulan. De hecho, si $\phi$ es un vector cuasinilpotente, entonces $$ \lim_{n \to \infty}|(e_j,T^n \phi)|^{\frac{1}{n}} = \lambda_j |(e_j,\phi)|^{1/n} = 0 ,$$ lo que nos da que $(e_j,\phi)$ se anula para todos los $j$.
Me gustaría demostrar el mismo resultado (todos los vectores cuasinilpotentes se anulan) para el siguiente operador, $$ T_k[\phi] = \int_{\Omega} \frac{e^{ik|x-y|}}{|x-y|}\phi(y)dy,$$ que también es un operador compacto en $L^2(\Omega)$. Pero no podemos esperar que los argumentos anteriores funcionen en nuestro caso ya que la estructura espectral de $T_k$ no está clara. Quizás necesitemos recurrir a la teoría de EDPs elípticas para obtener ayuda.
Gracias de antemano por cualquier idea o sugerencia.
