Condiciones de Matrices Similares:

Question

Lo siento, esta pregunta ya fue hecha pero mi inglés no es bueno. ¿Para que una matriz sea similar, tiene que tener todas estas propiedades o ALGUNAS de ellas?

Mismo determinante

Misma traza

Polinomio característico igual

Mismos valores propios

P^-1BP = D etc

Si dos matrices no comparten alguna de estas propiedades, ¿significa eso que no son similares?

No dudes en mencionar si me he olvidado de alguna propiedad

Answer 1

Por definición, dos matrices cuadradas $A$ y $B$ se llaman similares si existe una matriz invertible $P$ tal que $$A=PBP^{-1}$$ y todas las demás condiciones son necesarias pero no suficientes. Aquí hay un contraejemplo:

$$A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\quad I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$$ estas dos matrices tienen el mismo determinante, los mismos valores propios, la misma traza, el mismo polinomio característico pero no son equivalentes.