¿Cuál es el valor de $\alpha^{8}+\beta^{8}+\gamma^{8}$ si $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ son raíces de la ecuación $x^3+x-1$?

Question

¿Cuál es el valor de $\alpha^{8}+\beta^{8}+\gamma^{8}$ si $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ son raíces de la ecuación $x^3+x-1$? ¿Existe una forma más corta de encontrar la respuesta aparte de encontrar los valores individuales de las raíces?

Answer 1

$a,b,c$ son las raíces de $x^3+x-1=0$, entonces $a^3=1-a \implies a^8=\frac{(1-a)^3}{a}=\frac{1-a^3-3a+3a^2}{a}=\frac{1-(1-a)-3a+3a^2}{a}$ $$\implies a^8=3a-2,\implies a^8+b^8+c^8=3(a+b+c)-6=-6$$ ya que la suma de las raíces es cero.

Answer 2

Para todas las raíces,

$$x^3=1-x,$$ y $$x^8=\frac{x^9}x=\frac{1-3x+3x^2-x^3}x=3x-2.$$

Luego usando Vieta,

$$S_8=3S_1-3\cdot2=0-6.$$

Answer 3

Si $\alpha$ es una raíz entonces $\alpha^3=1-\alpha$, así que $\alpha^8=(\alpha^3)^2\alpha^2=(1-\alpha)^2\alpha^2=\alpha^4-2\alpha^3+\alpha^2$. Ahora puedes reducir el grado de $\alpha^4$ y $\alpha^3$ de la misma manera para obtener una expresión que no tenga potencias mayores que 1.

Aplica el mismo razonamiento a $\beta$ y $\gamma$ y usa la fórmula de Vieta para la suma de las raíces.

Answer 4

Tienes \begin{align}\alpha^8&=\alpha^2\left(\alpha^3\right)^2\\&=\alpha^2(-\alpha+1)^2\\&=\alpha^4-2\alpha^3+\alpha^2\\&=\alpha(-\alpha+1)-2(-\alpha+1)+\alpha^2\\&=3\alpha-2.\end{align} ¿Puedes seguir a partir de aquí?

Answer 5

La forma sistemática que no necesita una visión es usar la división de polinomios: $$ x^8=(x^5 - x^3 + x^2 + x - 2)(x^3+x-1)+( 3 x - 2) $$ El cociente no es importante; el resto sí lo es. Nos dice que $\alpha^8=3\alpha-2$ y lo mismo para $\beta$ y $\gamma$. Luego podemos usar la fórmula de Vieta para la suma de las raíces.

Otro enfoque es usar las identidades de Newton.