Mostrando que el límite de la diferencia central positiva implica que la función es estrictamente creciente

Question

Supongamos que $f:(a,b)\rightarrow \mathbb{R}$ es continua, y que $$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$$ existe para todo $x\in(a,b)$ y es estrictamente mayor que cero.

¿Cómo puedo mostrar que $f$ debe ser estrictamente creciente? Estoy cómodo con la prueba habitual del TVM que una derivada positiva implica que una función es creciente, sin embargo, en este caso, no puedo asumir que la función es diferenciable, por lo que no puedo usar el TVM en su forma estándar al menos.

He tenido dos ideas:

1. Volver al principio y demostrar que el TVM sigue siendo válido en este caso, mostrando que el teorema de Rolle sigue siendo válido (¿lo es?).

2. Usar la definición de límite directamente con un argumento $\epsilon - \delta$, mostrando que para todo $|h|<\delta$, $\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}>0$, por lo que de alguna manera la función debe ser creciente.

¿Alguna idea?

Answer 1

Primero puedes demostrar que la función $f$ es "localmente creciente": para cada $x\in(a,b)$, la suposición implica que $$ f(x+h)-f(x-h)>0 $$ para $h>0$ pequeño.

Ahora considera cualquier intervalo compacto $[c,d]\subset (a,b)$. Entonces $[c,d]$ puede estar cubierto por finitos intervalos abiertos donde $f$ es creciente. Dado que $[c,d]$ es arbitrario, $f$ debe ser creciente en $(a,b)$.