¿Por qué limitamos la definición de una función a una sola y por x? Por ejemplo, la función raíz cuadrada. Sólo permitimos la raíz cuadrada principal de un número, en lugar de que, por ejemplo, la raíz cuadrada de 9 sea a la vez 3 Y -3. ¿A qué se debe esto?
Gracias.
No se habla de limitar nada.
Lo bueno de las matemáticas es que si quieres crear un nuevo objeto, eres libre de hacerlo. Así que si quieres crear el concepto de una, digamos, función (me lo estoy inventando) diciendo que es una relación que toma un número múltiple de entradas y te da un número múltiple de salidas, entonces eres libre de hacerlo. El término función es comúnmente aceptado como algo que sólo tiene una salida, por lo que no llegarías muy lejos si redefinieras la función. probablemente estés de acuerdo en que esto sólo causaría confusión.
Así que podrías definir la función que toma $9$ a $-3$ y $3$ . (Habría que precisar esto).
Ahora bien, la invención de un nuevo concepto en matemáticas suele estar motivada por alguna necesidad, por lo que habría que convencer al mundo de que es necesario hablar de funiones. ¿Resuelven ciertos problemas? ¿Simplifican la notación? En resumen: ¿por qué las necesitamos? De nuevo, somos libres de hacer lo que queramos en matemáticas.
Una forma de satisfacer sus deseos, es definir el función $f$ sea la función que para ewach $x$ da el (único) conjunto de soluciones de la ecuación $y^2 = x$ . Entonces, por ejemplo, $f(3) = \{-3,3\}$ y este es un tema perfectamente bien definido función .
Como se ha señalado en los comentarios, también existe el concepto de relación que hace más o menos lo que creo que quieres.
Ahora bien, hay que tener cuidado con la terminología. Si dices que algo es igual a ambos $3$ y $-3$ Entonces estás diciendo que $3= -3$ y eso no está permitido en las matemáticas. (Esto también se señaló en los comentarios anteriores).
Para añadir un punto de vista más: las definiciones más básicas de las matemáticas son formalizaciones de nuestra intuición sobre alguna entidad del mundo real. La "continuidad" es un buen ejemplo. Pero aquí estamos hablando de "función". El concepto del mundo real que la definición pretende captar es simplemente el de algún tipo de transformación o proceso que asocia cosas de un tipo a cosas de otro. Así que queremos tener funciones que lleven a las personas a sí mismas un año más tarde, o que lleven los lugares y las horas a la lluvia que hay allí durante esa hora, los edificios a sus alturas, las figuras geométricas a subconjuntos del plano real que las representan, los números a sus cuadrados o exponenciales, etc.
Con esta larga lista de ejemplos, intento indicar que la noción de función es un natural una, y asumiendo implícitamente que son las nociones naturales las que interesan estudiar matemáticamente. Obsérvese que todos mis ejemplos son funciones: dejando de lado la extraña física cuántica, nadie se convierte en dos personas dentro de un año, cada lugar recibe una cantidad precisa de lluvia, etc. (por supuesto, hay muchas opciones para el ejemplo geométrico: supongamos que hemos dibujado algunos ejes de coordenadas).
Su queja es que esto no es cierto en el caso de sacar raíces cuadradas: que cada número tiene dos raíces cuadradas. Pero la noción de función puede ocuparse de esto: es lo mismo decir $x$ tiene dos raíces cuadradas $y_1,y_2$ como decir que hay dos números $y_1,y_2$ tal que $y_1^2=y_2^2=x$ . Es decir, al encontrar raíces cuadradas de $x$ "realmente" sólo estás deshaciendo el función de la cuadratura. Por supuesto, usted podría estar en desacuerdo y tomar la actitud de que la operación de raíz cuadrada tomando $x$ a ambos $y_1$ y $y_2$ es más importante para ti. Como se ha comentado en otras respuestas, ese no es un punto de vista inválido y las matemáticas podrían haberse hecho así en un mundo diferente. Pero no fue así, porque vivimos en un mundo en el que las funciones están en todas partes y situaciones como la raíz cuadrada son excepcionales, por lo que hemos establecido las matemáticas para privilegiar las funciones y permitir que nuestro tratamiento de las raíces cuadradas sea un poco más incómodo de lo que podría ser.
Las funciones son una conveniencia notacional que se puede utilizar para formar expresiones de una manera que las relaciones más generales no pueden.
Por ejemplo, consideremos la expresión $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ . Puedes escribirlo en tu calculadora y obtener algo parecido a $3.14626436994197$ . Lo que hace que esto sea aún posible es la falta de ambigüedad que proporciona la definición del operador raíz cuadrada como una función: Estás sumando el raíz cuadrada de 2 a el raíz cuadrada de 3.
Si la raíz cuadrada fuera una "función" de dos valores, entonces qué sería $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ ¿quieres decir? Podría ser uno de los siguientes cuatro valores, dependiendo de su elección de raíces cuadradas positivas y negativas.
Nótese que he tenido que recurrir a √-como-función para escribir incluso los valores exactos de la lista anterior.
¿Por qué lo hacemos? Porque es conveniente. Esta es la forma en que definimos las funciones. Podríamos haber dicho que una función es un elefante azul. Pero no dijimos eso. En su lugar, dijimos que (informalmente) una función es una cosa que toma elementos de un conjunto, la entrada, a otro conjunto, la salida. Y hemos puesto una restricción: cada entrada sólo puede corresponder a una salida.
¿Por qué hemos puesto esta restricción? Porque si no, el concepto de función no sería muy útil. Por ejemplo, supongamos que tenemos una función así $f(x) = x$ y $f(x) = 2x$ . Suponga que pone $5$ en la función. Entonces, ¿qué se obtiene? O bien $f(5) = 5$ o $f(5) = 10$ . No tienes ni idea de a qué valor corresponde. Si estás tratando de llegar a algún tipo de conclusión, entonces un o término reducirá tus opciones, pero en última instancia no te dejará hacer una conclusión. Así que no es muy útil.
Una de las grandes cosas de las funciones es el hecho de que podemos invertirlas. Así como podemos definir una función $f$ mapeo de elementos del conjunto $A$ para establecer $B$ (escrito $f:A \to B$ ), podemos definir una función inversa $f^{-1}: B \to A$ para volver a asignar los elementos a $A$ . Retomemos nuestro ejemplo anterior. Supongamos que tenemos el número $10$ y la función $f$ , y así se definió $f^{-1}(x) =x$ o $f^{-1}(x) =\frac x 2$ . Entonces sabes que el $x$ tal que $f(x) = 10$ era $10$ o $5$ . Pero no se sabe cuál de los dos era. Entonces eso tampoco es muy bueno.
Para terminar nuestro ejemplo, supongamos que tenemos $f(5) = 5$ o $f(5) = 10$ . Pero también sabemos que para $f(x) = 10$ tenemos $x = 10$ o $x = 5$ . Entonces es concebible que $f(5) = f(10)$ y $f^{-1}(10) = f^{-1}(5)$ y terminamos con $5=10$ . Esto explica por qué escribimos que $\sqrt{4} = 2$ y no que $\sqrt{4} = \pm 2$ . Tendríamos $\sqrt{4} = 2$ y $\sqrt{4} = -2$ , por lo que obtendríamos $\sqrt{4} = 2 = -2$ es decir, que $2 = -2$ y eso es una tontería.
Nos gustan las funciones porque nos permiten mapear precisamente de un conjunto a otro. Esto nos permite sacar todo tipo de conclusiones interesantes y establecer relaciones entre conjuntos. Si realmente quisiéramos, podríamos definir una función que llevara una entrada a múltiples salidas, pero eso haría que esas relaciones fueran "difusas", cuando lo que realmente nos interesa es precisa relaciones. Por eso preferimos las funciones tal y como las hemos definido.
Por último, creo que has pensado que estas funciones de salida múltiple, a falta de un término mejor, pueden tener sentido o ser de alguna manera útiles como objetos matemáticos. Le sugiero que investigue relaciones y distribuciones de probabilidad . Están relacionados y pueden encarnar lo que usted cree que puede faltar en las funciones.
Thomas y Dan ya han escrito una excelente respuesta, pero me gustaría responder desde un punto de vista diferente: La identidad conceptual y el uso.
Si tienes una manzana y una naranja, son dos cosas. Sabes cuál es cuál porque conoces sus nombres y lo "sientes". Es lo mismo que ocurre con los símbolos en matemáticas: si defines que X es f(foo) e Y es g(bar), puedes distinguirlos.
Por otro lado, si no se les asigna ninguna "identidad" y se los trata a todos como un grupo (es decir, un conjunto), entonces se tiene un grupo de frutas (manzana,naranja) y un grupo de funciones (f,g). Sin embargo, observa que a pesar de que los elementos pierden su identidad, ahora el el grupo tiene identidad . Le has puesto nombre para poder localizarlo y operarlo.
Estoy bastante seguro de que las funciones se definieron para devolver un solo resultado, porque esta es la forma más mínima de proporcionar su función sin requisitos de colocación sobre cómo definir las identidades de las "cosas resultantes".
Si tu función devolviera una cosa (sqrt(9): 3) - bueno, es obvio.
Si su función devuelve muchas cosas no identificables por sí mismas (así sqrt_1(9) da como resultado -3 y 3 en orden aleatorio ) - ¡supongamos que sí! Su función devuelve ahora una bolsa de elementos, en orden aleatorio. ¿Cómo los operaría/procesaría/analizaría más tarde? Seguramente, no son identificables, te será difícil referirte a uno u otro. Pero bueno, hay la bolsa . Puedes coger la bolsa resultante y analizar su contenido. Pero ahora fíjate en el cambio: estás identificando, refiriendo y analizando la bolsa . Su función devolvió X cosas y todavía se refiere a una: la bolsa.
Pero eso fue bajo el supuesto de que los resultados devueltos no tienen nombre, no son identificables por sí mismos. Ahora supongamos que esa función produce llamado resultados identificables (así sqrt_2(9) devuelve "raíz negativa: -3" y "raíz positiva: 3" (ignoremos el cero o el imaginario..)). Ahora puedes referirte a ellos por separado y fácilmente. ¿De verdad? No. Sigues necesitando la bolsa, porque sqrt2(25) y sqrt(9) dan como resultado diferentes raíces positivas y diferentes raíces negativas. Así que para poder referirse a ellos, primero debes decir que estás considerando sqrt(25) y sólo entonces puedes referirte a la raíz positiva y encontrarla igual a 5.
Esto significa:
sqrt(9) -> 3
sqrt(9) -> {3, -3}
sqrt(9) -> {positive: 3, negative: -3}Pero todas ellas son, de hecho, cosas singulares:
one thing: a number
one thing: a set of numbers
one thing: a set of name-number pairs (mappings, relations, whatever you call it)sin mencionar que la función también puede resultar en una función (ver funciones de orden superior).
Lo que quiero decir es que, incluso si encuentras alguna manera de hacerlo inteligente y tratas de redefinir una "función" o "funion" para que devuelva múltiples valores, o lo que sea, todavía terminas teniendo realmente un resultado a la vez.
Esto se debe a que la suposición/noción de "tener un resultado" lo implica. Para unos parámetros dados, tienes un valor. O un conjunto de ellos. Pero de cualquier manera sigue siendo un resultado. La noción de "tener un resultado" es tan básica y tan abstracta, que simplemente es difícil generalizarla y ampliarla más.
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