Fase del producto interno entre los elementos de un ETF

Question

Estoy investigando en muestreo compresivo para aplicaciones de Radio Cognitivo. Mientras trabajaba en un proyecto, me encontré con la siguiente pregunta: ¿Existe alguna investigación sobre la fase del producto interno entre $N$ vectores en $\mathbb{C}^M$ que forman un Marco Ajustado Equiangular (o el signo del producto interno entre $N$ vectores en $\mathbb{R}^M$)? Sabemos que si hay un ETF para un dado $N$ y $M$, entonces la magnitud del producto interno será $\sqrt{\frac{N-M}{M(N-1)}}$, ¿pero sabemos algo sobre la fase (o el signo si los vectores son de valores reales)? ¿Depende del algoritmo de diseño del marco? ¿Podemos al menos determinar una distribución para la fase (o signo)?

Saludos cordiales, Ali

Answer 1

Podemos decir algo en el caso real. Primero, observe que negar un elemento de un marco conserva la ETF-ness. El resultado de interés (ver Corolario 5.6 en este artículo) postula que para cada ETF real, se puede negar algunos de los vectores para formar un ETF de manera tal que uno de los vectores tenga producto interno positivo con todos los demás, y el patrón de signos de la matriz de Gram de los vectores restantes forme la matriz de adyacencia de Seidel de un grafo fuertemente regular. Como tal, puede deducir los parámetros del grafo para establecer la distribución de signos.

Se sabe muy poco sobre las ETFs en el caso complejo, así que dudo que se pueda decir mucho sobre las fases en general (aunque ciertamente se pueden analizar las construcciones conocidas hasta la fecha, por ejemplo, ETFs armónicas y ETFs de Steiner).