¿Cómo identificar Operadores No Negativos?

Question

Dado un espacio vectorial de dimensión finita $E$, consideremos un operador no negativo $P:E\rightarrow E$. La pregunta es: además de su caracterización estándar, donde $P$ es autoadjunto y $\langle Pv,v\rangle \geq 0$, ¿hay algún otro criterio para identificarlos? Vale la pena mencionar que también se supone que es conocido que tal condición es equivalente a: $P$ autoadjunto y $\lambda\geq 0$, para cada autovalor. Gracias de antemano.

Answer 1

Cualquier factorización de la forma $P=M^{T}M$ es suficiente para demostrar que $P$ es semidefinida positiva.

Si se te da $P$ en forma de matriz y estás interesado en un cálculo numérico, entonces puedes verificar la positividad calculando los autovalores de $P$ o realizando una factorización de Cholesky. Para la semidefinición positiva, tendrías que usar algún tipo de tolerancia ya que cualquier cálculo de punto flotante de los autovalores o la factorización de Cholesky estaría sujeto a errores de redondeo.

Answer 2

Voy a suponer que $E$ es un espacio vectorial complejo, o al menos que $P$ es autoadjunto.

Para determinar que $P$ es definido positivo, basta con aplicar el criterio de Sylvester.

Ahora, sea $P$ un operador autoadjunto, y sea $X$ una matriz cuyas columnas forman una base ortonormal para la imagen de $P$ (es decir, la imagen de $X$ es la imagen de $P$ y $X^*X = I$). Entonces $P$ es positivo (definido no negativo) si y solo si la matriz $X^*PX$ es definida positiva.