Medida - ejercicio 22 de Folland

Question

Estoy haciendo algunos ejercicios del libro de análisis real de Folland. El ejercicio 18 está hecho y debería ayudar a hacer el ejercicio 22, pero estoy atascado.

La definición de completación se da a continuación.

Esto no es tarea, lo estoy haciendo por mi cuenta para aprender. Si es posible, apreciaría una respuesta completa. ¡Gracias!

PD: Mi idea era intentar mostrar que $\mathcal{M}^\ast = \overline{\mathcal{M}}$, entonces la unicidad se seguiría del teorema 1.9 y el teorema de Carathéodory (que garantiza que $\mu^\ast$ es completo). No veo cómo puedo hacer eso y no sé si esta es la idea correcta. Por eso estoy pidiendo ayuda aquí.

Answer 1

Tengamos $\mu$ sea una medida $\sigma$-finita en la $\sigma$-álgebra $\mathscr{M}$. Tengamos $\mu^*$ sea la medida exterior inducida por $\mu$, $\mathscr{M}^*$ los conjuntos $\mu^*$-medibles y $\overline{\mu}$ la medida $\mu^*$ restringida a $\mathscr{M}^*$. Queremos probar que $\overline{\mu}$ en $\mathscr{M}^*$ es la completación de la medida $\mu$ definida en $\mathscr{M}$. Primero probemos un lema.

Lema. Sea $(X,\mathscr{F},\nu)$ un espacio de medida, y sea $\overline{\mathscr{F}}$ la completación de $\mathscr{F}$ de acuerdo con la definición$$\overline{\mathscr{F}} := \{E \cup F\text{ }|\text{ }E \in \mathscr{F},\,F \subset N \text{ para cierto }N \in \mathscr{F} \text{ tal que }\nu(N) = 0\}.$$Entonces,$$\overline{\mathscr{F}} := \{G - D\text{ }|\text{ }G \in \mathscr{F},\text{ }D \subset N \text{ para cierto }N \in \mathscr{F}\text{ tal que }\nu(N) = 0\}.$$

Prueba. Tomemos $E \cup F \in \overline{\mathscr{F}}$, donde $E \in \mathscr{F}$ y $F \subset N$ para cierto $N \in \mathscr{F}$ tal que $\nu(N) = 0$. Entonces $$E \cup F = E \cup N - (N - (F \cup E)).$$ Notemos que $E \cup N \in \mathscr{F}$ y $N - (F \cup E) \subset N$.

Recíprocamente, consideremos $G - D$, donde $G - D$, donde $G \in \mathscr{F}$ y existe $N \in \mathscr{F}$ con $\nu(N) = 0$ tal que $D \subset N$. Entonces $$G - D = (G - N) \cup [(N \cap G) - D],$$ y $G - N \in \mathscr{F}$ y $(N \cap G) - D \subset N$. Así concluimos. $\square$

Recordemos que $$\overline{M} := \{G \cup F\text{ }|\text{ }B \in \mathscr{M},\,F \subset N\text{ para cierto }N \in \mathscr{M}\text{ tal que }\mu(N) = 0\}$$y para un conjunto $G \cup F$ como en esta definición, $\overline{\mu}(G \cup F) := \mu(G)$.

Queremos probar que $\mathscr{M}^* = \overline{\mathscr{M}}$ y $\mu^*(E) = \overline{\mu}(E)$ para $E \in \mathscr{M}^*$. Sabemos del Ejercicio 18 que si $E$ es $\mu^*$-medible, existe $B$ en $\mathscr{M}_{\sigma\delta}$ tal que $E \subset B$ y $\mu^*(B - E) = 0$. Sin embargo, como $\mathscr{M}$ es una $\sigma$-álgebra, $\mathscr{M}_{\sigma\delta} = \mathscr{M}$ y $B \in \mathscr{M}$. Por un razonamiento similar, dado que $B - E$ es $\mu^*$-medible, existe $C \in \mathscr{M}$ tal que $B - E \subset C$ y $\mu^*(C) = \mu(C) = 0$. Como $E = B - (B - E)$, donde $B \in \mathscr{M}$, nuestro lema nos dice que $E \in \overline{\mathscr{M}}$. Esto establece que $\mathscr{M}^* \subset \overline{\mathscr{M}}.

Por otro lado, $\overline{\mathscr{M}} \subset \mathscr{M}^*$ es cierto ya que cualquier conjunto de medida exterior $0$ está en $\mathscr{M}^*$. Entonces si $G \in \mathscr{M} \subset \mathscr{M}^*$ y $F \subset N$, donde $N \in \mathscr{M}$ y $\mu(N) = 0$, $F \in \mathscr{M}^*$ también, y por lo tanto $G \cup F \in \mathscr{M}^*$.

Finalmente, si $G \in \mathscr{M}$ y $F \subset N$, donde $N \in \mathscr{M}$ y $\mu(N) = 0$, entonces tenemos que $$\mu(G) = \mu^*(G) \le \mu^*(G \cup F) \le \mu^*(G) + \mu^*(F) = \mu^*(G) = \mu(G).$$ Así que $$\mu^*(G \cup F) = \mu(G) = \overline{\mu}(G).$$

Answer 2

Mostraré que $\mathscr M^*=\overline{\mathscr M}$. De Teorema 1.9 y el teorema de Carathéodory se sigue, de hecho, que $\mu^*|\mathscr M^*$ es la completación de $\mu$, ya que $\mu^*|\mathscr M^*$ es una medida completa en la $\sigma$-álgebra $\mathscr M^*=\overline{\mathscr M}$ y extiende a $\mu$ por Proposición 1.13.

Considera un espacio de medida $(X,\mathscr M,\mu)$ como en el Ejercicio 22 y supón que $\mu$ es $\sigma$-finita. En el lenguaje del Ejercicio 18, $\mathscr M=\mathscr M_{\sigma}=\mathscr M_{\sigma\delta}$, porque $\mathscr M$ es no solo un álgebra sino también una $\sigma$-álgebra. Entonces, por el Ejercicio 18(b) y (c), $E$ es $\mu^*$-medible (es decir, $E\in\mathscr M^*$) si y solo si

$$\text{$\exists B\in\mathscr M$ tal que $E\subseteq B$ y $\mu^*(B\setminus E)=0$.}\tag{1}$$

Ahora, $(1)$ es equivalente a lo siguiente (nota que $B\setminus E=E^c\setminus B^c$): $$\text{$\exists B\in\mathscr M$ tal que $B^c\subseteq E^c$ y $\mu^*(E^c\setminus B^c)=0$.}\tag{2}$$

Luego, $\mu^*(E^c\setminus B^c)=0$ es equivalente a requerir que $E^c\setminus B^c$ sea un subconjunto de un conjunto nulo de $\mu$ (usando la definición de $\mu^*$ y su completitud—ver detalles abajo). Por lo tanto, $(2)$, a su vez, es equivalente a: $$\text{$\exists B\in\mathscr M$ tal que $B^c\subseteq E^c$ y $E^c\setminus B^c\subseteq N$ para algún $N\in\mathscr N$,}\tag{3}$$ donde $\mathscr N$ es como se define en el Teorema 1.9. En otras palabras, $(3)$ requiere que $E^c$ pueda expresarse como la unión de un conjunto $\mathscr M$ $B^c$ y un subconjunto $E^c\setminus B^c$ de un conjunto nulo de $\mu$ $N$. Es decir, $(3)$ es equivalente a $E^c\in\overline{\mathscr M}$ en el lenguaje del Teorema 1.9, o, ya que $\overline{\mathscr M}$ es una $\sigma$-álgebra, $E\in\overline{\mathscr M}$.

Conclusión: $E\in\mathscr M^*$ si y solo si $(1)$ si y solo si $(2)$ si y solo si $(3)$ si y solo si $E^c\in\overline{\mathscr M}$ si y solo si $E\in\overline{\mathscr M}$. Por lo tanto, $\mathscr M^*=\overline{\mathscr M}$.

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En lo que sigue, demostraré que si $B\subseteq X$, entonces $\mu^*(B)=0$ si y solo si $B\subseteq N$ para algún $N\in\mathscr M$ tal que $\mu(N)=0$. La necesidad se deduce del teorema de Carathéodory: dado que $\mu^*|\mathscr M^*$ es completo y $\mu^*|\mathscr M=\mu$ (ver Proposición 1.13), se sigue que si $B\subseteq N$ para algún $N\in\mathscr M(\subseteq\mathscr M^*)$ y $\mu(N)=0$, entonces $B\in\mathscr M^*$ y $\mu^*(B)=0$ dado que $\mu^*(N)=\mu(N)=0$.

En cuanto a la suficiencia, supongamos que $\mu^*(B)=0$. Entonces, usando la definición del ínfimo de $\mu^*$, para cualquier $n\in\mathbb N$, existen conjuntos $\{A_{nk}\}_{k=1}^{\infty}\subseteq\mathscr M$ tales que $$\mu\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{nk}\right)\leq\sum_{k=1}^{\infty}\mu(A_{nk})<\frac{1}{n}$$ y $B\subseteq\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{nk}$. Ahora, sea $N\equiv\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{nk}\in\mathscr M$. Claramente, $B\subseteq N$ y $\mu(N)=0$ ya que $\mu(N)<1/n$ para cualquier $n\in\mathbb N$.